GP 1.2.2 $T_x(U) = T_x(X) \text{ for } x \in U.$

Question

Este es el ejercicio 1.2.2 sobre Guillemin y Pollack 's Topología diferencial

Si $U$ es un subconjunto abierto de la variedad $X$ Compruebe que $$T_x(U) = T_x(X) \text{ for } x \in U.$$

Estoy bastante confundido con este problema, porque encontré la definición implícita de espacio tangente en Guillemin y Pollack 's Topología diferencial no es muy útil para este problema. En el libro, el espacio tangente se define por $d\phi_0$ que no está directamente definido:

Por definición, el espacio tangente de $X$ en $x$ es la imagen del mapa $d\phi_0: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^N$ , donde $x + d\phi_0(v)$ es la mejor aproximación lineal a $\phi: V \rightarrow X$ a 0. $\phi: V \rightarrow X$ es una parametrización local alrededor de $x$ , $X$ se sienta en $\mathbb{R}^N$ y $V$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^k$ y $\phi(0) = x$ .

Así que aquí está mi intento:

$T_x(X)$ es la imagen del mapa $d\phi_0: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^N$ , donde $x + d\phi_0(v)$ es la mejor aproximación lineal a $\phi: V \rightarrow X$ a 0. $\phi: V \rightarrow X$ es una parametrización local alrededor de $x$ , $X$ se sienta en $\mathbb{R}^N$ y $V$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^k$ y $\phi(0) = x$ .

Porque $U$ es un Abrir subconjunto del colector $X$ por lo que la mejor aproximación lineal a $x$ es el mismo que el de $X$ alrededor de $x$ . Por lo tanto, $T_x(U)$ es la imagen del mapa $d\phi_0: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^N$ , donde $x + d\phi_0(v)$ es la mejor aproximación lineal a $\phi: V \rightarrow U$ a 0. $\phi: V \rightarrow U$ es una parametrización local en torno a $x$ , $X$ se sienta en $\mathbb{R}^N$ y $V$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^k$ y $\phi(0) = x$ . Por lo tanto, $T_x(U) = T_x(X) \text{ for } x \in U.$

Answer 1

Dejemos que $ϕ:W∈R^k→X$ sea una parametrización de $X$ alrededor de $x$ para que $ϕ(W)∈X$ es un subconjunto abierto del colector. Dado que $U$ está abierto, también lo está $ϕ(W)∩U$ y también (ya que $ϕ$ es un homeomorfismo) $V:=ϕ^{−1}(ϕ(W)∩U)$ . Así, $ϕ∣_V$ (la restricción de $ϕ$ a $V$ ) es una parametrización de $U$ alrededor de $x$ De esto se deduce directamente que los espacios tangentes son los mismos.

Answer 2

Dejemos que $X \subset Y$ sea un submanifold y $j : X → Y$ sea el mapa de inclusión. Entonces $∀x \in X, dj_x : T_x(X) → T_x(Y )$ es inyectiva, de hecho es una inclusión. Si $U$ es un subconjunto abierto de una variedad $X$ , $T_x(U) = T_x(X)$ para $x \in U$ .

Lema: Si $X$ es un colector, $x \in X$ y $\phi : U → X$ es una parametrización local con $\phi(0) = x$ entonces $(d\phi_0)^{−1} = d(\phi^{−1})_x$ . Ahora, dejemos que $x \in X$ , $\phi : U → X, \psi : V → Y$ sean parametrizaciones locales $(U \subset \mathbb R^k, V \subset \mathbb R^l$ abierto, $\phi(0) = x = \psi(0))$ . Tenga en cuenta que $\psi^{−1} \circ j \circ \phi = \psi^{−1} \circ \phi$ , por lo que tenemos $dj_x = d\psi_0 \circ d(\psi^{−1} \circ \phi)_0 \circ (d\phi_0)^{−1} = d\psi_0 \circ d(\psi^{−1})_y \circ d\phi_0 \circ (d\phi_0)^{−1} = Id$ $\blacksquare$