Utiliza la definición de límite para demostrar $\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2-1}=-1$

Question

Dado $\epsilon>0$ y $0<\delta\leq\min\{1,\sqrt{\epsilon}\}\,$ tenemos que $\,|x|<\delta\implies0<x^2<1\implies0<\left|\frac{1}{x^2-1}\right|<1$ Por lo tanto $$\left|\frac{1}{x^2-1}+1 \right|=\left|\frac{x^2}{x^2-1}\right|=\left|\frac{1}{x^2-1} \right|\cdot|x|^2<1\cdot\left(\sqrt{\epsilon}\right)^2=\epsilon.$$

¿Esta prueba es correcta?

Answer 1

No. Si $0<x^2<1$ entonces $-1<x^2-1<0$ así que $$\frac1{x^2-1}<-1$$ así que $$\Bigl|\frac1{x^2-1}\Bigr|>1\ .$$ Tendrá que revisar sus desigualdades (y probablemente también su elección de $\delta\,$ ).

Otros pequeños puntos: debería decir $$\delta=\langle\hbox{something}\rangle\quad\hbox{and}\quad 0<|x|<\delta\ ,$$ no $\delta\le\cdots$ y $|x|<\delta$ .