Que representa un número como suma de a más $k$ plazas

Question

Fijar un número entero $k >0 $ y quisiera saber el máximo número de maneras diferentes en que un número $n$ puede ser expresada como una suma de $k$ plazas, es decir, el número de enteros soluciones a $$ n = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_k^2$$ con $x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_k$ $x_i \ge 0$ por cada $i$.

Lo que realmente me gustaría conocer es el asymptotics como $n \to \infty$.

Le pregunté a un número teórico de una vez sobre el caso de $k=2$, y si no recuerdo mal, dijo que hay números de $n$ que puede ser expresada como una suma de dos cuadrados en al menos $$n^{c/\log \log n}$$ different ways, for some constant $c > 0$, and this is more-or-less best possible. This is the kind of answer I am seeking for larger $k$.

Aclaración:

Lo que quiero decir con la máxima es la siguiente. Quiero funciones de $f_k(x)$, tan grande como sea posible, de tal manera que existe una secuencia de enteros $\{ a_i \}$$a_i \to \infty$, y de tal manera que $a_i$ puede ser escrito como la suma de $k$ plazas en al menos $f_k(a_i)$ maneras.

Answer 1

Este es un ejemplo de "Waring del problema" que expresan los números enteros como la suma de $k$ $p$th potencias de números enteros. En el caso de las plazas, al $k\ge5$ el asymptotics de que el número de representaciones (como una función de la $n$) han sido conocidos por algún tiempo (creo Hua demostrado que esta en la década de 1930). Al $k\ge5$, el número de maneras de escribir $n$ como la suma de $k$ de los cuadrados de los enteros positivos es asintótica $$ \frac{\Gamma(3/2)^k}{\Gamma(k/2)}n^{k/2-1} S(n), $$ donde $\Gamma$ es la función Gamma que interpola los valores de factoriales, y $S(n) = S_k(n)$ es la "singular de la serie" eso depende de a $n$ pero es acotado por arriba y por abajo.

Uno puede encontrar exposiciones de Waring del problema y el "método de círculo" (dirigido a diferentes niveles) en varios lugares de la web, como por ejemplo aquí y aquí.

Answer 2

El líder término de la asymptotics se $r_k(n)/k!$ donde $r_k(n)$ es el sin restricciones de número de representaciones de $n$ como una suma de los cuadrados de $k$ enteros. Específicos $k$ como 4 o 8 hay fórmulas clásicas como sumas de funciones aritméticas (pruebas de uso de las formas modulares). Fijo $k>4$ el líder término es en promedio igual a $An^b$ $A$ $b$ calculable a partir de los volúmenes de las esferas, pero como se explica en la respuesta por Greg Martin, la "constante" $A$ es de hecho un cuasiperiódicos función de $n$, el singular de la serie (el producto de p-ádico densidades de las soluciones de la ecuación).

Answer 3

Esto no es una respuesta a su pregunta. Pero aquí hay algunas cosas que me vagamente saber.

La introducción de Ila Varma tesis de master

http://www.math.leidenuniv.nl/scripties/VarmaMaster.pdf

escrito bajo la supervisión de Bas Edixhoven podría tener algunas cosas relevantes para lo que usted necesita. Como ella dice en la introducción, no se cierran las fórmulas de números enteros $n\geq 12$. Ella demuestra que no hay fórmulas para $n > 12$. (Esto tiene que ver con la cúspide de las formas.)

De todos modos, no hay fórmulas, pero hay polinomio de algoritmos. Ver este documento por P. Bruin.

http://pmb.univ-fcomte.fr/2011/Bruin.pdf

Es posible que desee buscar en la final de la introducción a su artículo a la derecha después de la Observación 1.6.

Al final de su artículo, nos muestra que es posible calcular estos números en el polinomio de tiempo.

Answer 4

Bueno, a menos missunderstood el problema, es suficiente para resolver $k=2$.

De hecho, si $n$ puede ser escrito como $x_1^2+x_2^2$ $m$ maneras diferentes, entonces

$$n+(k-2)= x_1^2+x_2^2 +1+1+..+1 \,.$$

Solución para $k=2$

Fijar un $m$. Vamos a producir infinitamente muchos $n$ que se puede escribir como la suma de 2 cuadrados en $m$ maneras:

Que $a_i^2+b_i^2=c_i^2$forall $1 \leq i \leq m$. Es fácil producir a estas trillizas con todos los números para ser distinto. Que $n=c_1^2c_2^2...c_m^2$.

Entonces

$$n=(a_1^2+b_1^2)c_2^2...c_m^2=c_1^2(a_2^2+b_2^2)c_3^2...c_m^2=.....=c_1^2c_2^2...c_{m-1}^2(a_m^2+b_m^2) \,.$$