Esto debería ser realmente un comentario pero es camino demasiado tiempo:
Como indican los comentarios, lo único que tenemos hasta ahora es una observación cualitativa. Es bastante interesante, pero convertirla en una pregunta precisa no es trivial, y por supuesto tenemos que hacerlo antes de obtener una respuesta.
Así que permítanme intentar precisar el fenómeno que vemos, o mejor dicho, precisar uno en particular pregunta sobre si un patrón general que parece observar se mantiene realmente. En concreto, quiero preguntar: "¿Todos los bucles ruedan en el sentido de las agujas del reloj?"
Hay un par de cosas a las que debemos prestar atención:
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Necesitamos una definición precisa de "bucle" y, a continuación, una forma de hablar del movimiento de un bucle en el tiempo.
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Lo que sea que preparemos debe ser parametrización-invariante : estamos prestando mucha atención al mapa $$\Gamma:c\mapsto\{(x,y):\exists t(x=\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(2^nt+cn)}{2^n}\quad\mbox{and}\quad y=\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin(2^nt+cn)}{2^n})\},$$ o si prefiere "rebanadas horizontales sucesivas" de la superficie $$\{(x,y,z):\exists t(x=\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(2^nt+zn)}{2^n}\quad\mbox{and}\quad y=\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin(2^nt+zn)}{2^n})\}\subseteq\mathbb{R}^3.$$
Así que nuestra definición probablemente utilizará la función $$F(t,c)=(\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(2^nt+cn)}{2^n},\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin(2^nt+cn)}{2^n})$$ pero al final "perderá información".
Bien, empecemos con la noción de bucle en el momento $c$ . Hay un par de cosas que esto podría significar.
Desde topología algebraica tenemos la noción simple de una función continua $S_1\rightarrow\Gamma(c)$ (o más bien, una clase de equivalencia apropiada de tales funciones). Esta noción es bastante buena; por un lado, produce un grupo para cada $c$ y así en general un "groupoide de variación continua".
Sin embargo, eso es un poco abstracto; y lo que es más importante, ignora detalles como dirección del movimiento que es lo que definitivamente nos importa aquí. Así que, aunque es algo muy natural, no estoy seguro de que sea la idea correcta en este caso.
En cambio, quiero ser un poco más concreto:
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A bucle en el momento $c$ es sólo un par de números $a<b$ tal que $F(a,c)=F(b,c)$ pero para cada $z\in (a,b)$ tenemos $F(z,c)\not=F(a,c)$ . (Nótese que esto se refiere a la parametrización; sin embargo, eso desaparecerá más adelante. La característica clave aquí es que la parametrización $F$ es "localmente inyectiva en $c$ ," es decir, para cada $t,c$ hay algo de $\epsilon>0$ tal que $F\upharpoonright (t-\epsilon, t+\epsilon)\times\{c\}$ es inyectiva).
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Para hablar del movimiento de un bucle en el tiempo, introduciremos la noción de burbuja . Básicamente, una burbuja es un "bucle no trivial de variación continua" que máximo en el sentido de que si pudiéramos seguir avanzando o retrocediendo en $c$ lo hacemos. Más concretamente, diremos que un antes de la burbuja consiste en una tupla $(I,f,g)$ donde $I$ es un intervalo abierto (al que se le permite extenderse infinitamente en una o ambas direcciones) y $f,g$ son funciones inyectivas definidas en $I$ tal que $\langle f(c),g(c)\rangle$ es un bucle para todos los $c\in I$ . Una preburbuja no necesariamente "cuenta toda la historia" de la vida de un bucle, por lo que definimos además un burbuja para ser una preburbuja $(I,f,g)$ de tal manera que no hay ninguna otra preburbuja $(\hat{I},\hat{f},\hat{g})$ con $I\subsetneq I'$ y $\hat{f}\upharpoonright I=f, \hat{g}\upharpoonright I=g$ .
Ahora supongamos que tengo una burbuja $\beta:=(I,f,g)$ . En cada momento $c\in I$ hay un "punto especial" en esta burbuja, $p_\beta(c)=F(f(c),c)=F(g(c),c)$ . Y mediante un poco de tedio de coordenadas polares se puede formular la siguiente pregunta con precisión:
Si $\beta=(I,f,g)$ es una burbuja, necesita $p_\beta(c)$ siempre se mueve en el sentido de las agujas del reloj como $c$ ¿aumenta?
(El tedio consiste básicamente en que el argumento de un punto es multivalente. Sin embargo, es fácil de tratar).
Obsérvese que, como es de desear, en este punto todo está libre de parámetros: lo anterior funciona siempre que fijemos cualquier parametrización que es localmente inyectiva en $c$ .
Ahora que tenemos una pregunta precisa, estoy seguro de que encontrar la respuesta será básicamente trivial, así que lo dejaré como ejercicio para el lector. :P
