Dejemos que $d$ denotan la métrica en $M$ .
Dejemos que $\rho$ denotan la métrica en $M\times M$ que se define como $$\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)=d\left(x_{0},x_{1}\right)+d\left(y_{0},y_{1}\right)$$
Entonces se puede demostrar que $$\left|d\left(x_{0},y_{0}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\right|\leq\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)\tag1$$
Esto en base a $$d\left(x_{1},y_{1}\right)\leq d\left(x_{1},x_{0}\right)+d\left(x_{0},y_{0}\right)+d\left(y_{0},y_{1}\right)=\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)+d\left(x_{0},y_{0}\right)$$ y: $$d\left(x_{0},y_{0}\right)\leq d\left(x_{0},x_{1}\right)+d\left(x_{1},y_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{0}\right)=\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)+d\left(x_{1},y_{1}\right)$$
Se debe demostrar que la función $d:M\times M\to\mathbb{R}$ es continua cuando $\mathbb{R}$ está equipado con su topología habitual.
La topología en $\mathbb{R}$ tiene los intervalos $\left(-\infty,a\right)$ y $(a,\infty)$ como subbase, por lo que basta con demostrar que $\left\{ \left(x,y\right)\in M\times M\mid d\left(x,y\right)<a\right\}$ y $\left\{ \left(x,y\right)\in M\times M\mid d\left(x,y\right)>a\right\}$ son conjuntos abiertos en $M\times M$ por cada $a\in\mathbb R$ .
Esto significa que para cualquier par $\left(x_{0},y_{0}\right)$ con $d\left(x_{0},y_{0}\right)<a$ algunos $\epsilon>0$ debe encontrarse de manera que $\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_1,y_1\right)\right)<\epsilon\Rightarrow d\left(x_1,y_1\right)<a$ .
Y de la misma manera que para cualquier par $\left(x_{0},y_{0}\right)$ con $d\left(x_{0},y_{0}\right)>a$ algunos $\epsilon>0$ debe encontrarse de manera que $\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_1,y_1\right)\right)<\epsilon\Rightarrow d\left(x_1,y_1\right)>a$ .
Esto puede hacerse mediante el uso de (1).