Demuestre que d es una función continua de valor real en $M \times M$

Question

Dejemos que $(M,d)$ sea un espacio métrico. Sea $M \times M$ sea el espacio del producto, donde $d$ se define (anteriormente en el libro como ) $d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2)$ donde $d_1$ y $d_2$ son métricas sobre $M_1$ y $M_2$ respectivamente.

Debo demostrar que $d$ es una función continua de valor real.

Estoy muy confundido acerca de la notación, un se supone que mostrar que $M \times M$ es el conjunto o $M_1 \times M_2$ ¿es el conjunto en el que se supone que se usa? Supongo que no importa, pero me ayudaría mucho.

¿Puede alguien ayudarme a iniciar la prueba?

Sé que debo elegir mi delta para ser $\varepsilon/2$ ya que tengo dos puntos, pero mi pregunta es ¿cómo será la notación?

Answer 1

Dejemos que $d$ denotan la métrica en $M$ .

Dejemos que $\rho$ denotan la métrica en $M\times M$ que se define como $$\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)=d\left(x_{0},x_{1}\right)+d\left(y_{0},y_{1}\right)$$

Entonces se puede demostrar que $$\left|d\left(x_{0},y_{0}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\right|\leq\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)\tag1$$

Esto en base a $$d\left(x_{1},y_{1}\right)\leq d\left(x_{1},x_{0}\right)+d\left(x_{0},y_{0}\right)+d\left(y_{0},y_{1}\right)=\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)+d\left(x_{0},y_{0}\right)$$ y: $$d\left(x_{0},y_{0}\right)\leq d\left(x_{0},x_{1}\right)+d\left(x_{1},y_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{0}\right)=\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)+d\left(x_{1},y_{1}\right)$$

Se debe demostrar que la función $d:M\times M\to\mathbb{R}$ es continua cuando $\mathbb{R}$ está equipado con su topología habitual.

La topología en $\mathbb{R}$ tiene los intervalos $\left(-\infty,a\right)$ y $(a,\infty)$ como subbase, por lo que basta con demostrar que $\left\{ \left(x,y\right)\in M\times M\mid d\left(x,y\right)<a\right\}$ y $\left\{ \left(x,y\right)\in M\times M\mid d\left(x,y\right)>a\right\}$ son conjuntos abiertos en $M\times M$ por cada $a\in\mathbb R$ .

Esto significa que para cualquier par $\left(x_{0},y_{0}\right)$ con $d\left(x_{0},y_{0}\right)<a$ algunos $\epsilon>0$ debe encontrarse de manera que $\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_1,y_1\right)\right)<\epsilon\Rightarrow d\left(x_1,y_1\right)<a$ .

Y de la misma manera que para cualquier par $\left(x_{0},y_{0}\right)$ con $d\left(x_{0},y_{0}\right)>a$ algunos $\epsilon>0$ debe encontrarse de manera que $\rho\left(\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_1,y_1\right)\right)<\epsilon\Rightarrow d\left(x_1,y_1\right)>a$ .

Esto puede hacerse mediante el uso de (1).