Acción normal del metal-superconductor (revelando la reflexión de Andreev)

Question

Ejemplo breve

Una unión Josephson convencional, que consiste en un sándwich superconductor-aislante-superconductor (SIS) y está polarizada por una corriente constante $I$ tiene la siguiente acción: $$S_{SIS}\left[\phi(t)\right]=\int_{t_i}^{t_f} dt\left[\frac{(\hbar \dot\phi)^2}{4E_C}+E_J\left(\cos\phi+\frac{I}{I_c}\phi\right)\right]$$ donde $\phi(t)$ es una coordenada generalizada, cuyo significado es la diferencia entre un parámetro de orden fase $\phi_1$ del primer superconductor y una fase $\phi_2$ de la segunda (es decir $\phi = \phi_1-\phi_2$ ).

Si se necesita incluir la disipación de cuasipartículas, se puede utilizar un hamiltoniano de segunda cuantificación para determinar la acción efectiva:

$$S_{SIS}^{\text{eff}}\left[\phi(t),\chi(t)\right]=\int_{t_i}^{t_f} dt\left[-\frac{\hbar ^2\ddot\phi}{2E_C}\cdot\chi+E_J\left(\cos(\phi+\chi/2)-\cos(\phi-\chi/2)+\frac{I}{I_c}\chi\right)\right]+S_{SIS}^{\text{dissipation}}\left[\phi(t),\chi(t)\right]$$

donde $\phi(t)$ es ahora una diferencia de fase media y $\chi(t)$ caracteriza algunas fluctuaciones cercanas a la media. No escribo una gran expresión para $S_{SIS}^{\text{dissipation}}$ explícitamente, pero es una cantidad conocida (para más detalles, véase Gerd Schön, A.D. Zaikin (las fórmulas (3.47), (3.48), (3.70)).

Mi pregunta

Me pregunto cómo escribir una acción (¿efectiva?) $S_{NS}$ describiendo la conexión normal metal-superconductor (NS o NIS) sesgada por una tensión/corriente. Todavía no entiendo las funciones de Green, así que me gustaría ver la respuesta en una forma similar a las ecuaciones anteriores.

Respuesta posible pero incompleta

Hasta ahora, he encontrado algo que describe la conductancia de Andreev ( Acción de Keldysh para superconductores desordenados la fórmula (6.8)):

$$S_{A}\left[\phi(\omega),\chi(\omega)\right]=\frac{iG_A}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega}{2\pi}\hbar\omega\sin\chi(\omega)\cdot\\\cdot\left[\sin\left\{\phi(\omega)-\phi(-\omega)\right\}\cos\chi(-\omega)+\coth\left(\frac{\hbar\omega}{2T}\right)e^{i\phi(-\omega)-i\phi(\omega)}\sin\chi(-\omega)\right]\tag{6.8}$$

donde $G_A$ es la conductancia de Andreev, $T$ es la temperatura del superconductor, $\phi$ (o $\theta_1$ ) es una fase superconductora media y $\chi$ (o $\theta_2$ ) caracteriza algunas fluctuaciones cercanas a la media.

Como puede verse, la dimensión de la acción $S_A$ no es $[\hbar]$ . Si entiendo bien las fórmulas (6.11) y (6.13) del mismo artículo, $G_A$ es adimensional. Entonces la dimensión de $S_A$ es $[\hbar/t^2]$ .

Además, no hay integración en el tiempo en $S_A$ , por lo que una acción real $S_{NS}\left[\phi(t),\chi(t)\right]$ tiene que determinarse de alguna manera a partir de $S_A$ . Parece que se utilizó un procedimiento que necesito para obtener (6.11):

$$S_A\left[\phi(t),\chi(t)\right]=-eG_A\int_{-\infty}^{+\infty}dtV(t)\chi(t)+o[\chi]\tag{6.11}$$

donde $V(t) = \frac{\hbar}{2e}\cdot\frac{d\phi(t)}{dt}$ es la tensión de polarización. Pero el primer orden en $\chi$ no es suficiente para mí, así que tengo que entender qué pasos hay que realizar desde (6.8) hasta (6.11). ¿Son algunas transformaciones integrales $S_{NS}=\int dt\int dt'S_A f(t,t')$ ?

Answer 1

La siguiente respuesta es todavía mejorable (ver su final).

Según el artículo , una acción que describe la conductancia de Andreev es:

$$S_A\left[\phi(t),\chi(t)\right]=\frac{iG_A}{4}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\omega\left[i\left(e^{i\phi}\cos\chi\right)_{-\omega}\left(e^{-i\phi}\sin\chi\right)_{\omega}-\\-i\left(e^{-i\phi}\cos\chi\right)_{-\omega}\left(e^{i\phi}\sin\chi\right)_{\omega}+2\coth\left(\frac{\omega}{2T}\right)\left(e^{i\phi}\sin\chi\right)_{-\omega}\left(e^{-i\phi}\sin\chi\right)_{\omega}\right]\tag{6.8}$$

donde $G_A$ es la conductancia Andreev adimensional, $T$ es adimensional temperatura del superconductor, $\phi$ (o $\theta_1$ ) es una fase superconductora media y $\chi$ (o $\theta_2$ ) caracteriza algunas fluctuaciones cercanas a la media.

Como se puede ver en mi pregunta anterior, mi primer intento de entender esta fórmula me llevó a varios errores:

• Todas las frecuencias $\omega$ se hacen adimensional después de dividirlos por alguna frecuencia característica $\omega_c$ es decir $\frac{\omega}{\omega_c}\rightarrow\omega$ . Lo mismo se hace con $T$ es decir $\frac{T}{\hbar\omega_c}\rightarrow T$ . Así que la acción original también es adimensional y se mide en unidades de $\hbar$ ;
• $\left(e^{i\phi}\cos\chi\right)_{\pm\omega}$ y expresiones similares son no productos de componentes de frecuencia $e^{i\phi(\pm\omega)}\cdot\cos\chi(\pm\omega)$ pero más bien Transformadas de Fourier de $e^{i\phi(t)}\cos\chi(t)$ : $$\left(e^{i\phi(t)}\cos\chi(t)\right)_{\pm\omega}=\int_{-\infty}^{+\infty}dt\ e^{i\phi(t)}\cos\chi(t)\cdot e^{\pm\omega t}$$ donde $t$ es adimensional, ya que $\omega$ es adimensional ( $\omega_c t\rightarrow t$ ).

Teniendo en cuenta estas correcciones, la acción puede reescribirse como

$$S_A\left[\phi(t),\chi(t)\right]=\frac{iG_A}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}dt\int_{-\infty}^{+\infty}dt'\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\omega\ e^{-i\omega(t-t')}\cdot\\ \cdot\left[-\cos\chi(t)\sin\chi(t')\sin\left\{\phi(t)-\phi(t')\right\}+\coth\left(\frac{\omega}{2T}\right)e^{i\phi(t)-i\phi(t')}\sin\chi(t)\sin\chi(t')\right]$$

Para obtener la fórmula (6.11) se implementa la pequeñez de $\chi$ :

$$S_A\left[\phi(t),\chi(t)\right]\approx-\frac{iG_A}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}dt\int_{-\infty}^{+\infty}dt'\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\omega\ e^{-i\omega(t-t')}\chi(t')\sin\left\{\phi(t)-\phi(t')\right\}$$

y utiliza las siguientes relaciones:

$$\frac{d}{dt'}\delta(t-t')=i\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\omega\ e^{-i\omega(t-t')}$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}dt'f(t')\frac{d}{dt'}\delta(t-t') = -\int_{-\infty}^{+\infty}dt'\delta(t-t')\frac{d}{dt'}f(t')$$

Finalmente:

$$S_A\left[\phi(t),\chi(t)\right]\approx-\frac{G_A}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}dt\chi(t)\frac{d}{dt}\phi(t)=-\frac{e G_A}{\hbar\omega_c}\int_{-\infty}^{+\infty}dt\ V(t)\chi(t)$$

Para devolver la dimensionalidad hay que sustituir $t\rightarrow\omega_c t$ , $S_A\rightarrow\frac{S_A}{\hbar}$ :

$$S_A\left[\phi(t),\chi(t)\right]\approx-e G_A\int_{-\infty}^{+\infty}dt\ V(t)\chi(t)\tag{6.11}$$

En $T\to 0$ pero no pequeño $\chi$ :

$$S_A\left[\phi(t),\chi(t)\right]\approx-e G_A\int_{-\infty}^{+\infty}dt\ V(t)\sin\chi(t)\cos\chi(t) - \frac{i\hbar G_A}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dt\int_{-\infty}^{+\infty}dt'\ \frac{\sin\chi(t)\sin\chi(t')}{(t-t')^2}e^{i\phi(t)-i\phi(t')}\tag{*}$$

Sin embargo, todavía hay algunas lagunas en mi comprensión:

• ¿Cuál es esa característica $\omega_c$ utilizado en el artículo?
• Cómo escribir $S_A$ para tiempos finitos $t_i$ y $t_f$ ? ¿Es suficiente con cambiar los límites de integración? $\int_{-\infty}^{+\infty}dt\rightarrow\int_{t_i}^{t_f}dt\ $ ? No parece tan sencillo, porque la integral de tiempo se obtiene mediante la transformada inversa de Fourier.
• Es la acción de la conductancia de Andreev $S_A$ ¿toda la historia de NS-junction? Puede que haya otros términos que correspondan a fenómenos diferentes: $S_{NS} = S_A + S_{\text{other effects}}$

Pero en este momento la ecuación ( $^*$ ) es suficiente para mis objetivos.