Demostración de la existencia de puntos críticos no mínimos

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función analítica tal que $$\lim_{|\vec{x}|\rightarrow \infty}f(\vec{x}) = \infty$$ Dejemos que $M$ sea el conjunto de puntos en los que $f$ alcanza su valor mínimo. Supongamos que $M$ tiene más de un elemento.

1)Supongamos que $M$ es un conjunto discreto. Demostrar que existe un punto crítico de $f$ que no está en $M$ o construir un contraejemplo.

2)¿Sigue siendo válido si dejamos de lado la suposición de $M$ ¿ser discreto?

Answer 1

Esto es una consecuencia inmediata del lema del paso de montaña en el cálculo de variaciones, detallado por ejemplo en el libro de Evans [1] en la página 480, y por tanto se mantiene en espacios muy generales (posiblemente de dimensión infinita). Sin embargo, la demostración de ese teorema es algo complicada y hay una serie de posibles trampas en el camino.

En nuestro caso, creo que podemos simplificar ligeramente la prueba de la siguiente manera. Sea $x,y$ sean dos puntos en $M$ y que $k = \inf_\gamma\max_{t\in[0,1]}f\circ \gamma(t)$ , donde $\gamma$ es un $C^1$ -curva de $x$ a $y$ . Por discreción de $M$ existe un círculo $C_\epsilon(x)$ alrededor de $x$ no contiene $y$ con $\min_{\omega \in C_\epsilon(x)}f(\omega) > \min f =: m$ . Desde $\gamma$ tiene que cruzar $C_\epsilon(x)$ , deducimos que $k>m$ .

Los puntos críticos $\{x \in \mathbb{R}^n: \nabla f(x) = 0\}$ de $f$ forman un conjunto cerrado, ya que $\nabla f$ es continua, y de $\lim_{|x|\rightarrow \infty}f(x) = \infty$ concluimos que $f^{-1}([a,b])$ es un conjunto compacto para todo $a,b\in \mathbb{R}$ . En combinación, esto implica que los valores críticos de $f$ forman también un conjunto cerrado. Suponiendo que $k$ no es un valor crítico, existe $\delta >0$ tal que $[k-\delta,k+\delta]$ no contiene valores críticos. El conjunto $A := f^{-1}([k-\delta,k+\delta])$ es de nuevo un conjunto compacto, por lo que existe $\kappa > 0$ tal que $|\nabla f(x)| \geq \kappa$ en $A$ . Considerando el flujo de gradiente $\Phi(x,t)$ dado por $\partial_t \Phi(x,t) = -(\nabla f)\circ\Phi(x,t)$ la estimación anterior da como resultado $f \circ \Phi(x,\frac{2\delta}{\kappa^2})\leq k-\delta$ para todos $x\in A$ .

Ahora, dejemos que $\gamma$ sea una curva tal que $\max_{t\in[0,1]}f\circ \gamma(t) < k + \delta$ . Entonces $\gamma_1(\tau) := \Phi(\gamma(\tau), \frac{2\delta}{\kappa^2})$ define una curva con $\max_{t\in[0,1]}f\circ \gamma_1(t) \leq k - \delta$ que sigue conectando $x$ y $y$ contradiciendo la definición de $k$ .

La segunda afirmación es ciertamente errónea para funciones suaves, considere por ejemplo la función suave dada por $f(x) = x e^{-\frac{1}{x^2-1}}$ para $|x|>1$ y $f(x) = 0$ para $x \in [-1,1]$ . Sin embargo, tengo la sensación de que podría seguir siendo cierto para analítica funciones que satisfacen $\lim_{|x|\rightarrow \infty}f(x) = \infty$ y $|M|\geq 2$ pero por razones más profundas que las anteriores.

[1] Evans, Lawrence C. Ecuaciones diferenciales parciales, Estudios de Posgrado en Matemáticas. 19. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). xvii, 662 p. (1998). ZBL0902.35002 .