Sketch $f(x)=\sin x+\frac{1}{x}$ y máximos y mínimos locales, intervalos de aumento y disminución,

Question

Sketch $f(x)=\sin x+\frac{1}{x}$ encontrar máximos y mínimos locales, intervalos de aumento y disminución. Intento utilizar la diferenciación para dibujar este cuadro y encontrar puntos críticos.

Por lo tanto, tengo $f'(x)=\cos x-\frac{1}{x^2}$ Sin embargo, tendré que lidiar con la desigualdad $f'(x)>0 $ , $f'(x)<0$ y $f'(x)=0$ Siento que me falta habilidad para resolver una ecuación como ésta. Entonces, ¿hay alguna forma mejor de encontrar el máximo y el mínimo local de esta función?

Answer 1

Para $f'$ , tenga en cuenta que, si $|x| < 1$ , entonces $f'(x) \ne 0$ (¿ves por qué?).

Además, para los grandes $x$ , ya que $\cos(x) =\sin(\pi/2-x) $ , quieres $\sin(\pi/2-x)$ pequeño. Por lo tanto, $\pi/2-x$ tiene que estar cerca a un múltiplo de $\pi$ , ya que es cuando $\sin$ es pequeño. Así que, dejemos que $\pi/2 -x=\pi n +z$ , donde $z$ es pequeño. Entonces $\cos(x) =\sin(\pi/2-x) =\sin(\pi n+z) \approx (-1)^n z $ , así que $\frac1{x^2} \approx (-1)^n z \approx (-1)^n (\pi/2-\pi n)-x $ .

Desde $x$ es grande, $x \approx (-1)^n (\pi/2-\pi n) $ .

Parcela $f$ y $f'$ y ver si estos comentarios coinciden con lo que usted ve.

Recuerda, la aproximación más útil para las funciones trigonométricas es $\sin(x) \approx x$ para los pequeños $x$ .