Encontrar el determinante de $\rm P=A^{2}(7B)^{2}A^{-1}$ si $\rm B^{2}=B$ .

Question

Dejemos que $A$ , $B$ $\in M_{2,2}$ no singular tal que $\rm B^{2}=B$ .

¿Cuál es el determinante de esta matriz dada? $\rm P=A^{2}(7B)^{2}A^{-1}$

Sé la respuesta correcta, que es: $\det(P)=7^{4}\det(A)$

El problema es que no tengo ni idea de cómo llegar.

¿Alguna pista?

Answer 1

Pista: Recuerda que para las matrices cuadradas, $\det(A_1 A_2) = \det(A_1)\det(A_2)$ . Aplicando esto a $B^2 = B$ ¿Qué posibilidades tenemos de $\det(B)$ ? ¿Cómo puede entrar en juego la no singularidad? ¿Qué sucede cuando se aplica esto a la fórmula de $P$ ?