Sea K un subcampo de los números reales y f un cuártico irreducible. Si f tiene exactamente dos raíces reales, el grupo de Galois de f es S4 o D4

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio. Sea $K $ sea un subcampo de los números reales y $f \in K[x]$ un cuártico irreducible. Si $f$ tiene exactamente dos raíces reales, el grupo de Galois de $f$ es $S_4$ o $D_4$

Lo que he intentado es lo siguiente si el cuártico tiene coeficientes nulos en potencias Impares las raíces de $f$ son de la forma { ${u,-u,z,+z}$ } donde $u$ es real y $z$ complejo. Ahora dejemos que $c(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ sea la cúbica resolvente de $f$ Debemos tener $\alpha=-(u^2+z^2), \beta=2uz,\ { } \gamma=-2uz$
Y $c(x)=x^3+(u^2+z^2)x^2+...\in K[x]$ De aquí es fácil deducir que $[K(\alpha,\beta,\gamma):K]=2$ por lo que el grupo galois es isomorfo a $C_4$ o $D_4$ para demostrar que es $D_4$ Debo demostrar que $f$ es irreducible sobre $K(\alpha,\beta,\gamma)[x]$ que no tengo ni idea de cómo mostrar.

Además si trabajo con un cuártico general y no asumo que los coeficientes en potencias Impares son cero entonces todo se convierte en un lío, realmente no sé cómo enfocar esta cuestión cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Tal vez le interese la determinación general completa del grupo de Galois $G$ de un cuartico irreducible separable $f$ sobre un campo $K$ , con raíces $x_i$ , $4\ge i \ge 1$ . Desde $G$ es un subgrupo transitivo de $S_4$ los candidatos son: $S_4 , A_4$ uno de los 3 subgrupos conjugados de orden 8, el grupo cíclico de orden 4 generado por un 4-ciclo, y el subgrupo $V$ compuesto por (1), (12)(34), (13)(24) y (14)(23). Teniendo en cuenta $V$ es natural considerar las expresiones $\alpha=x_1x_2+x_3x_4$ , $\beta=x_1x_3+x_2x_4$ y $\gamma= x_1x_4+x_2x_3$ . Por consideraciones de simetría, es fácil demostrar que el campo $L=K(\alpha, \beta , \gamma)$ se fija en $G \cap V$ . El polinomio $(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)\in K[X]$ se llama resolvente cúbico de $f$ . Compruebe que si $f=X^4+bX^3+cX^2+dX+e$ entonces su resolvente cúbico es $X^3-cX^2+(bd-4e)X-b^2e+4ce-d^2$ . Sea $m$ sea el grado sobre $K$ del campo de división del resolvente cúbico de $f$ (con lo que volvemos a la conocida resolución de una cúbica). Entonces :

(1) Si $m=6, G\cong S_4$ (ii) Si $m=3, G\cong A_4$ (iii) Si $m=1, G\cong V$ (iv) Si $m=2$ , $G$ es de orden 8 o cíclico de orden 4.

¿Cómo distinguir entre estos dos últimos casos? Recordemos que el grupo de Galois de $f$ en $L=K(\alpha, \beta , \gamma)$ es $G \cap V$ . Si $G$ tiene orden 8, entonces $G \cap V=V$ y sigue siendo transitiva en las raíces, por lo que $f$ es irreducible sobre $L$ . Si $G$ tiene orden 4, entonces $G \cap V$ tiene orden 2, y $f$ es reducible sobre $L$ .