Quiero encontrar la forma canónica de la siguiente cónica: $$C: 9x^2+4xy+6y^2-10=0.$$ He encontrado $C$ es una elipse no degenerada (calculando el invariante cúbico y el cuadrático), y luego he estudiado el polinomio característico $$p(t)=\det \begin{pmatrix} 9-t & 2\\ 2 & 6-t\\ \end{pmatrix} $$ Los valores propios son $t_1=5,t_2=10$ con los vectores propios asociados $(-1,2)$ , $(2,1)$ . Así, construyo la matriz de rotación $R$ poniendo en columnas los vectores propios normalizados (teniendo en cuenta que $\det(R)=1$ ):
$$ R=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ -2 & 1\\ \end{pmatrix}$$
Entonces $(x, y)^t=R(x',y')^t$ y después de algunos cálculos encuentro la forma canónica $$\frac{1}{2}x'^2+\frac{4}{5}y'^2=1.$$
Pregunta: La solución presentada en el libro dice que la forma canónica es $$2x'^2+y'^2=2,$$ porque la matriz de rotación que utilizan es diferente:
$$ R=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2\\ \end{pmatrix}$$
Por qué mi matriz de rotación es equivocado ? ¿Cómo puedo detectar qué rotación debo construir? Por lo que entiendo basta con poner en columnas los vectores propios y prestar atención a que el determinante sea uno.
Gracias de antemano.
