¿Puede el determinante de una matriz entera con $k$ las filas dadas son iguales al gcd de las $k\times k$ ¿los menores de esas filas?

Question

Me interesa si lo siguiente es cierto:

Dejemos que $n> k\geq1$ sean números enteros, y que $A\in\mathbb Z^{k\times n}$ y denota el $\binom nk$ $k\times k$ menores de $A$ por $A_1,\ldots,A_N$ . Entonces la ecuación $$\left|\begin{array}{c}A\\\hline X\end{array}\right|=\gcd(A_1,\ldots,A_N)$$ siempre tiene una solución $X\in\mathbb Z^{n-k\times n}$ .

Se trata de una generalización de ¿Puede el determinante de una matriz entera con una fila dada ser cualquier múltiplo del gcd de esa fila? (que es el caso $k=1$ ). Para $\style{text-decoration:line-through}{k=n}$ y $k=n-1$ la conjetura anterior también es (obviamente) cierta.

Obsérvese que, al igual que en la pregunta enlazada, encontrar el mínimo valor positivo de ese determinante equivale a encontrar el mínimo hipervolumen de un $n$ -de un simplex cuyas vértices se encuentran en un entramado de números enteros y $k+1$ los vértices son fijos.

Idea: El caso $\gcd(A_1,\ldots,A_N)=1$ puede seguir de Prueba elemental de que si $A$ es un mapa matricial de $\mathbb{Z}^m$ a $\mathbb Z^n$ entonces el mapa es sobreyectivo si el gcd de los menores máximos es $1$

Answer 1

Esto se desprende de la Forma normal de Smith y así se mantiene para cualquier PID: la forma normal de Smith preserva el gcd de los menores de tamaño $k$ para todos $k\leq n$ (en particular, el determinante). Esto puede verse en la fórmula de Cauchy-Binet.

Basta con pasar a la forma normal de Smith para obtener una matriz de la forma $$QAP=\begin{pmatrix}D&0\end{pmatrix}$$

con $D$ diagonal de tamaño $k\times k$ y determinante igual al gcd de $k\times k$ menores de $A$ . Extiéndelo de forma trivial:

$$\begin{pmatrix}D&0\\0&I_{n-k}\end{pmatrix}$$

y aplicar el cambio inverso de bases que dio la forma normal de smith para obtener

$$\begin{pmatrix}Q^{-1}&0\\0&I_{n-k}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}D&0\\0&I_{n-k}\end{pmatrix} \cdot P^{-1} = \begin{pmatrix}A\\X\end{pmatrix}$$

para algunos $X$ (igual al último $n-k$ filas de $P$ ).