Recoger el producto cruzado dentro de una matriz

Question

Si tengo una matriz representada por tres vectores columna como la que se muestra a continuación, ¿puedo recoger el producto cruzado como he hecho a continuación?

$$ [ \overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} \quad \overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{c} \quad \overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{d} ] = \overrightarrow{a} \wedge [ \overrightarrow{b} \quad \overrightarrow{c} \quad \overrightarrow{d} ] $$

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Supongo que $\wedge$ significa $\times$ es decir, producto cruzado (como en algunos países como el mío).

Mi respuesta : no y sí (!)

La respuesta, estrictamente hablando, es "no" porque en el lado derecho tienes un producto cruzado no homogéneo entre un vector y una matriz.

Pero hay una forma de decir "sí" reescribiendo esta identidad bajo la forma de un producto matricial ordinario (enfatizado por un "*") que es :

$$[a_{\times}(b) \ , \ a_{\times}(c) \ , \ a_{\times}(d)] \ = \ a_{\times} \ * \ [b \ , \ c \ , \ d]$$

utilizando el operador $v_{\times}$ asociado al producto cruzado por el vector v (con coordenadas $v_x,v_y,v_z$ ) definida como la siguiente matriz sesgada-simétrica :

$$v_{\times}:=\begin{pmatrix}0&-v_z&v_y\\v_z&0&-v_x\\-v_y&v_x&0\end{pmatrix}.\tag{1}$$

Explicación del formulario (1). Apliquemos esta matriz a un vector $w$ con coordenadas $w_x, w_y, w_z$ :

$$v_{\times}(w)=\begin{pmatrix}0&-v_z&v_y\\v_z&0&-v_x\\-v_y&v_x&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_x\\w_y\\w_z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_yw_z-v_zw_y\\ \cdots \\ \cdots\end{pmatrix} = v \times w \tag{2}$$

es decir, las fórmulas clásicas del producto cruzado. Por cierto, (2) explica la facilidad de la notación $v_{\times}$ .

Véase, por ejemplo Matriz simétrica inclinada del vector