Supongamos que $G$ es un grupo de Lie compacto, $\omega \in \Omega^n(G)$ es una forma de volumen invariante a la izquierda y sea $i:G \rightarrow G$ sea la inversión $i(g)=g^{-1}$ . Ya he demostrado anteriormente que $r^*_g \omega$ también es invariante a la izquierda, donde $r_g$ es la multiplicación por la derecha y así $r^*_g \omega=f(g)\omega$ . Además, como este $f$ es un homomorfismo, por compacidad, se deduce que $f(g)=1$ .
También tengo que demostrar que $i^* \omega = \omega$ o $-\omega$ . Creo que tengo que usar el hecho de que $i^* \omega$ también es invariante a la izquierda. Puedo ver esto, porque $$r^*_h i^* \omega=(i \circ r_h)^* \omega=(l_{h^{-1}}\circ i)^* \omega=i^* l_{h^{-1}}^* \omega=i^* \omega$$ desde $\omega$ es invariante a la izquierda. ¿Cómo puedo utilizar esto para demostrar $i^* \omega = \omega$ o $-\omega$ ?
Respuesta
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Dejemos que $X_1, \cdots, X_n \in T_e G$ . Utilizando $i_* X = -X$ (ver aquí ), tenemos
$$ (i^* \omega)_e (X_1, \cdots, X_n) = \omega_e (i_* X_1, \cdots, i_*X_n) = (-1)^n \omega_e (X_1, \cdots, X_n),$$
así $(i^*\omega)_e =(-1)^n \omega_e$ . Dado que ambos $\omega, i^*\omega$ son invariantes de la izquierda, tenemos $i^*\omega = (-1)^n \omega$ .
