¿$f_n \in C([0, 1])$, tiene que existir $(a, b)$, $p \in \mathbb{N}$ donde $\sup_\limits{x \in (a, b)} |f(x) - f_n(x)| < \epsilon$ $n > p$?

Question

Asumir que el $f_n \in C([0, 1])$ y $f_n(x) \to f(x)$ $n \to \infty$ cada $x \in [0, 1]$. ¿Para cualquier $\epsilon > 0$, existe un intervalo no vacío $(a, b)$ y $p \in \mathbb{N}$ tal que $$\sup_{x \in (a, b)} |f(x) - f_n(x)| < \epsilon$$for any $ n > p$?

Aquí, $C([0, 1])$ es el espacio de funciones continuamente diferenciables definida en $[0, 1]$.

Answer 1

Suponga que $f$ es continua. Deje $\epsilon > 0$ y considerar $$ G_k := \{x \in [0,1] : |f_k(x) - f(x)| \leq \epsilon/2\} $$ y el conjunto de $$ F_n = \carpeta cap_{k=n}^{\infty} G_k = \{x \in [0,1] : \sup_{k\geq n}|f_k(x) - f(x)| \leq \epsilon/2 \} $$ A continuación, $F_n$ es cerrado y por pointwise convergencia $$ [0,1] = \bigcup_{n=1}^{\infty} F_n $$ Así por Categoría de Baire, $\exists N\in \mathbb{N}$ tal que $F_N$ tiene un no-vacío interior, y por lo $\exists$ un intervalo abierto $J \subset F_N$ tal que para cualquier $k\geq N$ $$ \sup_{x\in J} |f_k(x) - f(x)| \leq \epsilon/2 < \epsilon \qquad (\ast) $$ Si $f$ no es continua, no estoy seguro, pero espero que esto ayude.

Edit: Como se ha señalado por @B. S. Thomson, en los comentarios, incluso si $f$ no es continua, la prueba puede ser fijado por tomar $$ F_n := \{x\in [0,1] : \sup_{k,j\geq n}|f_k(x) - f_j(x)| \leq \epsilon/2\} $$ podemos obtener un intervalo abierto $J$ tal que $$ \sup_{x\in J}|f_k(x) - f_j(x)| \leq \epsilon/2 \quad\forall k,j\geq N $$ Ahora por pointwise convergencia, obtenemos $(\ast)$