Resolver $\frac{5}{x+3}+\frac{2}{2x+6}=4$

Question

Quiero resolver $\frac{5}{x+3}+\frac{2}{2x+6}=4$ para $x$

Intento esto;

$5(2x+6)+2(x+3)=4(x+3)(2x+6)$

$12x+36 = 4(2x^2+12x+18)$

$8x^2+36x+36=0$ Donde luego iría a la fórmula, sin embargo la respuesta dice -1,5, qué estoy haciendo mal.

Answer 1

La ecuación cuadrática que has obtenido tiene dos soluciones: $-3$ y $-\frac{3}{2}$ . Esta última es la respuesta correcta. La primera es incorrecta porque llevaría a la división por $0$ cuando lo introducimos en la ecuación original.

Sin embargo, no es necesario resolver el problema mediante una ecuación cuadrática. Obsérvese que $\frac{5}{x + 3} + \color{red}{\frac{2}{2x + 6}} = \frac{5}{x + 3} + \color{red}{\frac{1}{x + 3}} = \frac{6}{x + 3}$ . Entonces la ecuación podría escribirse como $4(x + 3) = 6$ Así que $x = \frac{6}{4} - 3 = -\frac{3}{2}$ .

Answer 2

Las soluciones de $8x^2+36x+36=0$ son $-1.5$ y $-3$ pero esta última no es una solución de la ecuación original. Esta nueva y falsa solución se obtiene al multiplicar la ecuación por $(x+3)(2x+6)$ que no es el lcm de los denominadores.

Tenga en cuenta que $2x+6=2(x+3)$ .

Un ejemplo para mostrar lo que ocurre :

Tome la ecuación $$3x+5=-1$$ La solución es $x=-2$ . Si se multiplican ambos lados de cualquier ecuación por un no cero número, se obtiene otra ecuación, cuyas soluciones son las mismas. Pero si se multiplican ambos lados por $0$ se obtiene $0=0$ .

Ahora, si multiplicas ambos lados por, digamos, $x+4$ No sabemos si $x+4$ es cero o no. Así obtenemos otra ecuación con dos soluciones: $$3x^2+17x+20=-x-4$$ $$3x^3+18x+24=0$$ $$x=\left\lbrace\begin{align}&-2\\&-4\end{align}\right.$$

Una de las soluciones es la original. La otra es el valor para el que el factor $x+4$ que multiplicamos por, desaparece.

Answer 3

Podrías resolverlo de esta manera:

La segunda fracción, $\frac {2}{2x+6}$ puede simplificarse en $\frac 1{x+3}$ . Así, $$\frac 5{x+3}+\frac 2{2x+6}=4\implies\frac 6{x+3}=4\tag1$$ Y multiplicando en cruz, obtenemos $4(x+3)=6\implies x=x=-\frac 32$

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En cuanto a dónde te equivocaste nada ha salido mal todavía. ¡Utiliza la fórmula cuadrática y mira lo que obtienes!

Una pista: Usted se obtener dos soluciones. Una de ellas no funciona (es decir, es extraña).

Answer 4

Si reduces tu ecuación cuadrática se convertirá en $2x^2+9x+9=0$ . Ahora aplica la fórmula cuadrática para encontrar la x.

$x=\frac{-9\pm\sqrt{9^2-4*2*9}}{4} $ . Resuelve este y encuentra x. Obtendrás dos respuestas que son -3 y -1.5

La segunda es correcta pero la primera no porque en el lado izquierdo de tu pregunta tienes 5/x+3 como uno de los términos. Si aplicas x=-3 aquí estarás dividiendo 5 por 0 lo cual no es posible, lo mismo en el caso del otro término(2/2x+6) . Te dejo concluir ahora.

Answer 5

Tres respuestas:

i) $\frac n0$ es indefinido. Si alguna vez se le da una expresión $\frac 5{x+3}$ sabes desde el principio que es imposible que estos sean $\frac 50$ por lo que es imposible que $x +3 =0$ . $x +3 \ne 0$ y $x \ne -3$ .

Así que hagas lo que hagas, ya sabes $x = -3$ no será una solución aceptable.

Así que para deshacerse de las fracciones se pasó de

$A: \frac 5{x+3} + \frac 2{2x +6} = 4$ a

$B: 5(2x+6) + 2(x+3) = 4(x+6)(x+3)$

Estas dos ecuaciones son no lo mismo. Si $A$ es verdadero, entonces $B$ es verdadera y puede obtener $B$ de $A$ pero si $B$ es cierto que no sabes que $A$ es cierto. Todas las soluciones a $A$ son soluciones a $B$ pero $B$ tiene (quizás) más soluciones que $A$ lo hace. En $A$ es imposible que $x + 3 = 0$ y para $2x + 6 = 0$ . Pero en $B$ no lo es.

Esto podría ser una "solución extraña". Lo has hecho de la manera correcta, pero debes tener en cuenta que cuando multiplicas por una "incógnita" para eliminar un denominador, debes comprobar si la "incógnita" añade alguna solución "extraña".

Así que resuelve $B$ y obtener $x = -1.5$ o $x =-3$ . Pero usted ya sabe que $x=-3$ no es una respuesta aceptable. Es una respuesta aceptable $B$ pero no a $A$ . Así que la respuesta en $x = -1.5$ .

ii) Cuando tenga $\frac ab + \frac cd = e$ así que $ad +cb = ebd$ fíjate que sólo tienes que multiplicar por el máximo común múltiplo de $b$ y $d$ . No hay que multiplicar por todo de $b$ y $b$ .

Para eliminar el denominador en

$\frac 5{x+3} + \frac 2{2x+6} = 4$

no tenemos que multiplicar por $(x+3)(2x+6)$ . $2x + 6 = 2(x+3)$ por lo que sólo tenemos que multiplicar por $2x+6$ .

$\frac 5{x+3} + \frac 2{2x+6} = 4$

$5*2 + 2 = 4(2x + 3)$ .

En efecto, sólo podríamos haber multiplicado por $x+3$ para conseguir $5 + \frac 22 = 4(x+3)$ .

iii) Podría haber reducido $\frac 2{2x+6} = \frac 1{x+3}$ desde el principio.

$\frac 5{x+3} + \frac 2{2x + 6} = 4$

$\frac 5{x+3} + \frac 1{x+3} = 4$

$\frac 6{x+3} =4 $

$6 = 4(x+3)$ .

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Las notas ii) y iii) muestran que en realidad no se trata de un problema cuadrático.