¿Es verdad que para todo conjunto $A$, existe un conjunto $B$, tal que $A \subset B$, donde $B$ es más grande (tiene al menos un elemento más) que $A$? ¿Qué pasa con los conjuntos infinitos?
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- Es todo el conjunto de un subconjunto? (3 respuestas )
Respuestas
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AsBk3397
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El Teorema de Cantor establece que para cada conjunto $A$, tenemos que $|P(A)| > A$ donde $P(A)$ es el conjunto potencia de $A$ (conjunto de todos los subconjuntos de $A$). Para conjuntos finitos, esto parece obvio, y para conjuntos infinitos, puedes ver la prueba aquí. Por lo tanto, puedes definir $B$ como $B = P(A) \cup A$ para tener $A \subset B$.
Mohammad Riazi-Kermani
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Considera $B=A\cup\{A\}$
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Cantor demostró que, para cualquier conjunto $A$, su conjunto de partes $\mathcal P(A)$ es más grande.
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Gracias. ¿Puedes escribirlo como una respuesta regular para que pueda aceptarlo?
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@GEdgar Esto no responde la pregunta. En general, un conjunto no es un subconjunto de su conjunto de potencia.
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@MathematicsStudent1122 no pero $A \subset A\cup P(A)$. Y si $P(A)\cup A$ debe ser al menos tan grande como $P(A)$.
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@PinkPanther si $A$ es infinito entonces $|A\cup \{A\}| = |A|+1 = |A|$ así que $B$ no es "más grande".
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@fleablood Sí, para mí no estaba claro si la pregunta estaba pidiendo solo un superconjunto adecuado, que sería $A+1$, o con una cardinalidad estrictamente mayor.
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@PinkPanther En realidad, al volver a leer, tienes razón. Eso probablemente sería lo que el OP quiso decir. ¿Es cada conjunto un subconjunto adecuado de otro conjunto y tu comentario es correcto. Aunque esto asume que el OP es consciente de que $A\in A$ es imposible. No estoy del todo seguro de lo que el OP sabe y no sabe, pero sospecho que esta es una pregunta muy básica.
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"¿Y qué pasa con los conjuntos infinitos?" Esto implica un error común en el que "finito" significa "no contiene todo" y "infinito" significa "contiene todo". Esto es falso. Supongamos que tu conjunto es $\mathbb N=\{$todos los números naturales$\}$; ese es un conjunto infinito. Ahora agreguemos una cosa más a él $K=\mathbb N\cup\{$mi tío Fred$\}$. Ese es un conjunto infinito con un elemento no incluido. Ahora los conjuntos son cosas y puedes tener conjuntos como elementos de conjuntos. Pero si $A$ es un conjunto, $A$ no puede tenerse a sí mismo como miembro (Esa es una regla). Sin embargo, puedes agregar $A$ al conjunto para obtener un conjunto más grande y diferente. Y eso es el comentario de la pinkpanther.