Dada una integral $$\iint\limits_\triangle f(x,y) ~dx~dy$$ cambiar las variables a coordenadas polares, donde $\triangle = \{\text{Triangle whose vertices are at } (1,0),(0,2),(5,3)\}$
Por favor, vea la edición en la parte inferior
(Se adjunta la figura dibujada a mano a continuación).
Estoy tomando la sustitución $$x = 1 + r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta$$ que es un círculo centrado en $(1,0)$ . Como se muestra en la figura, se puede llenar una parte del triángulo con círculos (digamos la parte $\Omega_1$ ).
- En $\Omega_1$ tenemos $$0 \le r \le \frac{7}{\sqrt{26}}$$ (donde $|AH|=\frac{7}{\sqrt{26}})$ y $$\arctan \frac 34 \le \theta \le \pi - \arctan 2$$ que es el rango de ángulo entre los lados $AB$ y $AC$ . $$\iint\limits_{\Omega_1} f(x,y)~dx~dy = \int\limits_{\arctan \frac 34}^{\pi - \arctan 2} d\theta \int\limits_{0}^{7/\sqrt{26}} f(1+r\cos\theta, r\sin\theta)|J|dr$$ Bueno, $\Omega_1$ está hecho.
- Ahora dejemos que $\Omega_2$ sea la región no rellenada con círculos que contiene el punto $B$ (región superior derecha) y $\Omega_3$ sea la región no rellenada con círculos que contiene el punto $C$ (región superior izquierda).
- Sin embargo, cuando se trata de estas regiones $r$ y $\theta$ parece ser "dinámica" en el sentido de que sus límites dependen de la otra variable.
- No estoy seguro de cómo proceder.
Editar:
Con la siguiente nueva figura, parece que tengo un mejor enfoque.
Entonces $$\iint\limits_\triangle f(x,y) ~dx~dy = \int_{\arctan(3/4)}^{\pi-\arctan(2)} d\theta \int_0^{7/(5\sin\theta - \cos\theta)} f(1+r\cos\theta, r\sin\theta)r ~dr$$ desde $$BC: y = \frac{1}{5}x+2 \\ \implies r\sin\theta = \frac15(r\cos\theta + 1) + 2 \\ \implies r = \frac{7}{5\sin\theta - \cos\theta}$$ ¿Es correcto?
