Durante el sueño nocturno mi cerebro ha encontrado respuestas afirmativas a ambos problemas. La respuesta al Problema es bastante larga, así que presentaré sólo la respuesta a la Pregunta, que es un poco complicada. Primero una definición.
Un subconjunto $D$ de un espacio topológico $X$ se llama $k$ -denso en $X$ si cada subconjunto compacto $K\subset X$ puede ampliarse a un conjunto compacto $\tilde K$ tal que $D\cap\tilde K$ es denso en $\tilde K$ .
Un espacio topológico $X$ se llama $k$ -separable si contiene un contable $k$ -denso subconjunto.
Es fácil ver que cada subconjunto denso de un espacio metrizable es $k$ -dense. Así, los espacios separables metrizables son $k$ -separable.
También cada subconjunto denso de la línea Sorgenfrey $\mathbb S$ es $k$ -denso, por lo que $\mathbb S$ es $k$ -separable, también.
Teorema. Para cualquier $k$ -espacio separable $X$ y el espacio cometrizable $Y$ el espacio de funciones $C_k(X,Y)$ con topología compacta-abierta es cometrizable.
Prueba. Dejemos que $\tau$ sea la topología metrizable más débil en $Y$ siendo testigo de que $Y$ es cometrizable. Denotemos por $Y_\tau$ el espacio topológico metrizable $(Y,\tau)$ . Sea $D$ sea un contable $k$ -subconjunto denso de $X$ . Consideremos el operador de restricción $R:C_k(X,Y)\to Y_\tau^D$ , $R:f\mapsto f{\restriction}D$ . Sea $\sigma$ sea la topología metrizable en $C_k(X,Y)$ tal que el mapa $R:(C_k(X,Y),\sigma)\to Y^D_\tau$ es una incrustación topológica. Se puede demostrar que la topología $\sigma$ es testigo de que el espacio de funciones $C_k(X,Y)$ es cometrizable. $\square$
Desde la línea Sorgenfrey $\mathbb S$ es $k$ -separable, el teorema implica
Corolario. El espacio funcional $C_k(\mathbb S,\mathbb R)$ es cometrizable.
Ahora queda por observar que la línea Sorgenfrey $\mathbb S$ admite una incrustación topológica en su propio espacio de funciones $C_k(\mathbb S,\mathbb R)$ (que es un grupo topológico abeliano cometrizable).
