En la demostración de Chern para el teorema de Gauss-Bonnet-Chern, afirma que $$ \varepsilon_{i}u_{i_1}u_j\Omega_{ji_2}\theta_{i_3}\cdots\theta_{i_{2p-2k}}\Omega_{i_{2p-2k+1}i_{2p-2k+2}}\cdots\Omega_{i_{2p-1}i_{2p}}=P_k+2(p-k-1)\Sigma_k $$ donde $$ P_k=\varepsilon_{i}u_{i_1}^2\Omega_{i_1i_2}\theta_{i_3}\cdots\theta_{i_{2p-2k}}\Omega_{i_{2p-2k+1}i_{2p-2k+2}}\cdots\Omega_{i_{2p-1}i_{2p}} $$ y $$ \Sigma_k=\varepsilon_{i}u_{i_1}u_{i_3}\Omega_{i_3i_2}\theta_{i_3}\cdots\theta_{i_{2p-2k}}\Omega_{i_{2p-2k+1}i_{2p-2k+2}}\cdots\Omega_{i_{2p-1}i_{2p}} $$
Por cálculos directos:
- $j=i_1$ : obtenemos $P_k$ .
- $j=i_3,\dots,i_{2p-2k}$ : obtenemos $\Sigma_k$ .
Mi pregunta es: ¿por qué $$ \sum_{j=i_{2p-2k+1}}^{2p}\varepsilon_{i}u_{i_1}u_j\Omega_{ji_2}\theta_{i_3}\cdots\theta_{i_{2p-2k}}\Omega_{i_{2p-2k+1}i_{2p-2k+2}}\cdots\Omega_{i_{2p-1}i_{2p}}=0? $$ Parece que $$ \varepsilon_{i}u_{i_1}u_{j}\Omega_{ji_2}\theta_{i_3}\cdots\theta_{i_{2p-2k}}\Omega_{i_{2p-2k+1}i_{2p-2k+2}}\cdots\Omega_{i_{2p-1}i_{2p}}\\=\varepsilon_{i}u_{i_1}u_{i_{2p-2k+1}}\Omega_{i_{2p-2k+1}i_2}\theta_{i_3}\cdots\theta_{i_{2p-2k}}\Omega_{i_{2p-2k+1}i_{2p-2k+2}}\cdots\Omega_{i_{2p-1}i_{2p}} $$ para todos $j\in\{2p-2k+2,\dots,2p\}$ Entonces, ¿por qué? $$ \varepsilon_{i}u_{i_1}u_{i_{2p-2k+1}}\Omega_{i_{2p-2k+1}i_2}\theta_{i_3}\cdots\theta_{i_{2p-2k}}\Omega_{i_{2p-2k+1}i_{2p-2k+2}}\cdots\Omega_{i_{2p-1}i_{2p}}=0? $$
Se agradecería cualquier ayuda.
El enlace para la prueba original de Chern es: https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/chern7.pdf
