Convergencia de $\sum \frac{a_n}{1+a_n}$ cuando $\sum a_n$ y $\sum a_n^2$ converge.

Question

Supongamos que $a_n$ son números reales y $\sum a_n$ y $\sum a_n^2$ converge. ¿Cómo se puede demostrar que $\sum \frac{a_n}{1+a_n}$ ¿converge? ( $a_n \neq -1$ por cada $n$ )

Answer 1

Asumiré que $a_n \neq -1$ por cada $n$ .

Desde $\lim a_n = 0$ ignorando un número finito de términos, podemos suponer que $|a_n| \leq 1/2$ por cada $n$ . Ahora bien, fíjate en que

$$ \frac{a_n}{1+a_n} = a_n - b_n,\qquad \text{with}\ b_n=\frac{a_n^2}{1+a_n}. $$

Desde $|b_n| \leq 2 a_n^2$ la serie $\sum b_n$ converge absolutamente por comparación. Esto demuestra la convergencia de la serie $\sum a_n/(1+a_n)$ también.

Answer 2

(1) Ya que $\sum a_n$ es convergente, entonces existe $N$ s.t. $$ n \geq N \Rightarrow |a_n| \leq c < 1 $$ Arreglar $N$ . Supondremos que todo $|a_n| \leq c$ .

Por lo tanto, $$ \sum \frac{a_n}{1+a_n} = \sum_n \sum_{i=1} (-1)^{i-1} a_n^{i} $$

(2) $$ |a_n^i| \leq |a_n|^2 |a_n|^{i-2} \leq |a_n|^2,\ i\geq 3 $$

Por lo tanto, $\sum_n a_n^i$ es absolutamente convergente para $i\geq 3$ .

(3) Conjunto $$ z_{in} = (-1)^{i-1} a_n^i $$

Entonces $$ x_n =\lim_i z_{in} =0,\ y_i=\lim_n z_{in} =0 $$

Además, existe $M$ : $$ i>M\Rightarrow |z_{in}- x_n| < c^i < c^M < \varepsilon $$

(4) Por Teorema del límite iterado el límite iterado existe.