Tarea: 1-formas cerradas en $S^2$ son exactas.

Question

Desde el 2008 la UCLA en la Geometría Topología de examen de calificación: deje $\theta$ $1$- forma en $S^2$$d \theta = 0$. Construir una función $f$$S^2$$d f = \theta$.

No estoy muy seguro de mi capacidad para responder a un problema básico como esto correctamente, y te agradecería que alguien me dice si estoy equivocado en mi razonamiento.

Yo argumentaba de la siguiente manera: deje $U$ ser el subconjunto $S^2\setminus\{\text{south pole}\}$$L=S^2\setminus\{\text{north pole}\}$. Desde estos subconjuntos son diffeomorphic a $\mathbb{R}^2$ a través de la proyección estereográfica, la restricción de $\theta$ a cada una de $U$ o $L$ es exacta. Por lo tanto no existe$f_U$$f_L$, de modo que $d f_U = \theta , d f_L = \theta$ $U,L$ respectivamente.

En la intersección de las $U\cap L$ tenemos $d f_U = d f_L$$d(f_U-f_L) = 0$. Esto obliga a $f_U = f_L + c$ para algunas constantes $c$ en la intersección. La existencia y la elección de $f$ son ahora evidentes: vamos a $f=f_U$$U$$f(\text{south pole}) = f_L(\text{south pole})+c$.

Answer 1

Su razonamiento es el lugar, pero hay algunos molestos detalles técnicos para prestar atención. Yo siempre una prueba en una mayor generalidad.

Si $U$ $V$ son subconjuntos abiertos de un colector $M$ con $H^1(U)=0$, $H^1(V)=0$ y $U\cap V$ conectado, a continuación,$H^1(U\cup V)=0$.

Esto es suficiente para mostrar que cada cerró $1$-forma en $U\cup V$ es exacta. Para este fin, vamos a $\omega$ ser un cerrado $1$-forma en $U\cup V$. Deje $\iota_V$ $\iota_U$ el valor de la canónica de inclusiones de $V$ $U$ a $U\cup V$, respectivamente. Desde el exterior diferencial de viajes con pullback, se deduce que el $d\iota_{U}^*\omega=\iota_{U}^*d\omega=0$ y, asimismo, $d\iota_{V}^*\omega=\iota_{V}^*d\omega=0$. Por lo $\iota_{U}^*d\omega$ $\iota_{V}^*d\omega$ están cerrados. Pero $H^1(V)$ $H^1(U)$ son triviales, y por lo tanto muy cerrado $1$-forma en $U$$V$, respectivamente, son exactas. Es decir, existen funciones de $f_1:U\to \mathbb{R}$$f_2:V\to \mathbb{R}$, de modo que $df_1=\iota_{U}^*\omega$$df_2=\iota_{V}^*\omega$. Ahora, como $U\cap V$ está conectado, tenemos que $f_1\mid_{U\cap V}$ $f_2\mid_{U\cap V}$ son cohomologous, como $d(f_1-f_2)=df_1-df_2=0$. Desde $U\cap V$ está conectado, y $d(f_1-f_2)=0$, se deduce que el $f_1-f_2=c$ para algunas constantes $c$. Por lo tanto, el mapa de $F:U\cup V\to \mathbb{R}$ dada por

$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}f_1(x)&\text{ if }x\in U\\ f_2(x)+c&\text{ if }x\in V\end{array}\right.$

es suave en $U\cup V$, e $dF=\omega$ por la construcción. Por lo $\omega$ es exacta en $U\cup V$, como se desee.