Conceptos básicos de los vectores

Question

Vectores dados ${p}$ y ${d}$ podemos describir la línea a través de ${p}$ en la dirección ${d}$ como los vectores $x$ que satisfagan ${x} = p + t d.$

En este problema exploramos otra representación para las líneas.

a) Que $p = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y ${d} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ . Encontrar vectores $q$ y $n$ de manera que la línea descrita anteriormente también puede describirse como los vectores $x$ que satisfagan $(x - q) \bullet n = 0.$

b) Demuestre que para cualquier ${p}$ y no cero ${d}$ existen vectores ${q}$ y ${n}$ para que un vector ${x}$ se encuentra en la línea ${x} = {p} + t{d}$ si y sólo si $({x} - {q}) \bullet {n} = 0.$

Hola, he intentado expresar todos los vectores con variables, pero no he llegado a ningún sitio. ¡Se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

Para el caso simple en $\mathbb{R}^2$

Dejemos que $x=\left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix}\right)$ , $p=\left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \end{matrix}\right)$ , $d=\left(\begin{matrix} d_1 \\ d_2 \end{matrix}\right)\ne \bar0$

Entonces la ecuación de la línea viene dada por $\left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix} d_1 \\ d_2 \end{matrix}\right)$

$\iff\left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} p_1 + td_1 \\ p_2 + td_2 \end{matrix}\right)$

Resolviendo para t, obtenemos $t=\frac{x_1-p_1}{d_1}=\frac{x_2-p_2}{d_2}$

$\iff\frac{x_1-p_1}{d_1}-\frac{x_2-p_2}{d_2}=0 \iff (x_1-p_1)d_2-(x_2-p_2)d_1=0$

$\iff \left[\left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \end{matrix}\right)\right].\left(\begin{matrix} d_2 \\ -d_1 \end{matrix}\right)=\bar0$

$\iff (x-q).n=\bar0$ , donde $q=\left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \end{matrix}\right), n=\left(\begin{matrix} d_2 \\ -d_1 \end{matrix}\right)$

Puedes resolver (a) siguiendo los mismos pasos.