Empuje hacia delante o diferencial: ¿existe un vínculo con el diferencial de una función?

Question

Mi pregunta es realmente ingenua pero en geometría diferencial también llamamos diferencial al empuje asociado a una función $F : M \rightarrow N$ entre dos colectores $M$ y $N$ .

Pero no veo la relación entre este mapa $F_*$ y el "diferencial" habitual de una función.

¿Hay alguna razón por la que llamamos al diferencial de empuje como la cantidad $df$ o no hay absolutamente ninguna relación entre el diferencial de una función : $df$ y el diferencial=empuje hacia adelante.

Answer 1

Son la misma idea. Si $\varphi:M\rightarrow N$ es una función entre variedades suaves, la diferencial $d\varphi(x)$ es, en cada punto, la mejor aproximación lineal a $\varphi$ .

1. En el espacio real, tenemos que para una función suave $f:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n$ el diferencial $df(r, \Delta r)$ es una aproximación lineal de $f$ tal que si se elige un punto $r$ y el (pequeño) cambio $\Delta r$ en $\mathbb{R}^m$ , se tiene que la diferencial es (1) una función lineal que (2) aproxima el cambio en el valor de la función al desviarse ligeramente de $r$ :

$$ f(r+\Delta r) - f(\Delta r) \approx f^\prime(r)\Delta r = df(r, \Delta r) +\epsilon$$

2. En las variedades suaves más generales, tenemos una función suave $\varphi:M\rightarrow N$ y el empuje hacia adelante $\varphi_*$ tiene la misma propiedad en que asigna a cada punto una función lineal que aproxima el cambio en la salida de la función $\varphi$ al variar la entrada.

3. Pero en las variedades lisas generales, el espacio tangente ya no es trivialmente plano en todas partes; la generalización apropiada es que estos "pequeños cambios" son miembros de los espacios tangentes $TM$ y $TN$ en los puntos adecuados.

4. De ahí que podamos pensar en el empuje hacia adelante $\varphi_*(x, dx)$ como una asignación de un mapa lineal a cada punto $x\in M$ que asigna pequeñas desviaciones $dx \in TM_{x}$ a las desviaciones $dy\in TN_{\varphi(x)}$ de forma lineal. Esta definición coincide con la definición habitual de diferencial de funciones para espacios reales.

Answer 2

Si $M=\mathbb{R}^m$ y $N=\mathbb{R}^n$ entonces el pushforward de un mapa $f\colon M\rightarrow N$ es igual a su diferencial habitual.

Prueba. Dejemos que $x\in M$ y que $\gamma\colon ]-1,1[\rightarrow M$ sea una curva que pasa por $x$ Entonces uno tiene: $$f_*(x,\gamma'(0)):=(f\circ\gamma)'(0)=\mathrm{d}_xf\cdot\gamma'(0).$$ Por lo tanto, $f_*(x,\cdot)=\mathrm{d}_xf.$ De ahí el resultado. $\Box$

Answer 3

Para una función $F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ tenemos $$ F_*(x,v)=(F(x),d_xFv) $$ para cada $x\in\mathbb R^n$ y $v\in\mathbb R^m$ , donde $d_xF$ es el $m\times n$ Matriz jacobiana.

Así que $F_*$ y el diferencial de $F$ son la misma cosa, siempre y cuando se vea este último como un mapa entre los haces tangentes de $\mathbb R^n$ y $\mathbb R^m$ .