Estaba leyendo un libro en grupos, señala sobre la unicidad del elemento neutro y elemento inverso. Tengo curiosidad, ¿existen estructuras algebraicas con más de un elemento neutro o elemento inverso?
Respuestas
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Existen, pero son estructuras algebraicas con parciales de las operaciones, es decir, la multiplicación de $a*b$ no está definida para todos los $a,b$. Ejemplos típicos son los "viajes": usted puede componer un camino de$x$$y$, con un recorrido de $z$ $w$si y sólo si $y=z$. Matemáticas estándar ejemplos son categorías y groupoids. Así que un groupoid es a veces considerado como un "grupo con muchas identidades", y un grupo es un groupoid con sólo una identidad.
Estas ideas conducen a doble categorías y groupoids, que tienen composiciones pensadas como en diferentes direcciones. Doble grupos son solo abelian grupos, por lo que se llama la Eckmann-Hilton argumento, o de intercambio de la ley, pero con el doble de groupoids son muy complicados!
Otros ejemplos interesantes son inversas semigroups. Considere un conjunto $X$ y el conjunto de $I(X)$ de todos los bijections entre los subconjuntos de a $X$. Claramente existe una composición $f \circ g$ cualquier $f,g \in I(X)$, pero el dominio de $f \circ g$ puede ser menor de lo esperado e incluso vacía. Ver el wiki de entrada para obtener más información. En particular, la identidad $1_A$ en un subconjunto $A$ $X$ está asociado con el dominio $A$.
Navid
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Hagen von Eitzen
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Una estructura puede tener más de uno a la izquierda el elemento neutro ($e$$e\circ x=x$todos los $x$) o más de uno a la derecha el elemento neutro ($e$$x\circ e=x$todos los $x$). Por ejemplo, consideremos el conjunto de funciones de $f\colon \mathbb N_0\to\mathbb N$ bajo la sección de composición (el uso de $\mathbb N\subset \mathbb N_0$ del curso). Entonces cualquier $f$ $f(x)=x$ todos los $x\ge1$ (sino $f(0)$ arbitrarias!) a la izquierda neutral. Usted puede hacer algo similar con derecho-neutral. Por otro lado, si un elemento $e$ es de izquierda neutral e $e'$ es de derecha neutral, entonces necesariamente $e=e\circ e'=e'$, por lo que si 'neutral' se define como 'la izquierda y la derecha neutral", a continuación, la singularidad de la siguiente manera.
Una estructura con sólo uno neutro puede tener varias izquierda inversos. Por ejemplo, consideremos el conjunto de funciones de $f\colon X\to X$ en la composición de la identidad como neutral (obviamente). Luego a la izquierda inversa de a $f$ existe si y sólo si $f$ es inyectiva, un derecho inversa existe si y sólo si $f$ es surjective. A menos $f$ es también bijective (que no necesita ser el caso tan pronto como $X$ es infinita), estos inversos no está unívocamente determinado. Hay que reconocer que esta es una estructura que no todos los elementos tienen al menos un inversa en el primer lugar, pero usted consigue la sensación.
Stefan Hamcke
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Esto solo vino a mi mente:
Tomar un conjunto de $X$ % dos elementos $a$y $b$. Queremos dotar a este con una multiplicación interior que es asociativa ($X$ entonces se llama un facilitándole) y que $a$ es neutro a la derecha pero no neutral a la izquierda. Entonces ya sabemos tres de los cuatro valores: $$aa=a,\hspace{20pt}ba=b\hspace{20pt}ab=a\hspace{20pt}bb=?$ $ ahora, asociatividad requiere que $(ba)b=bb=b(ab)=ba=b$. Que $$aa=a,\hspace{20pt}ba=b\hspace{20pt}ab=a\hspace{20pt}bb=b$$ Or in other words, $(x,y) $ gets mapped to the first entry, so the multiplication is projection on the first coordinate. It is then easy to show that this is indeed associative. As we see, both element $% a %#% ese # $ son neutrales a la derecha.
Brian Rushton
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De manera interesante, sí; en teoría de la matriz, puede tener un anillo de matrices que tiene una identidad única, pero tiene subespacios, que tienen identidades bien diferenciadas. Por ejemplo, en matrices de 2 X 2, el subconjunto de todas las matrices que tienen 0 en la columna de la izquierda tiene una identidad derecha dada por $\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$, mientras que el subconjunto dado por matrices con todos 0 a la derecha se da en $\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}$.
Por supuesto la identidad para el anillo entero es $\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}$.
