La relación entre los eigenspaces de $H_0$ y $H_0+H_1 $

Question

Para el hamiltoniano no perturbado $H_0$ tenemos un conjunto de funciones propias $\{ f_i \}$ . Para el hamiltoniano perturbado $H_1$ tenemos otro conjunto de funciones propias $\{g_i \}$ .

A veces, no me queda claro que el $f$ y el $g$ abarcan el mismo espacio de Hilbert.

Por ejemplo, dejemos que $H_0 = \frac{1}{2} p^2 + \frac{1}{2}x^2 $ y $H_1 = g \delta (x)$ . No es difícil resolver los estados propios de $H_0+H_1$ al menos numéricamente. Pero la pregunta es, ¿es seguro que estos estados propios pueden ser expandidos por las funciones propias del oscilador armónico?

Answer 1

En primer lugar, tu ejemplo es erróneo, porque la "perturbación" que consideras consiste en una distribución, es decir, se encuentra fuera del espacio de Hilbert $L^2(\mathbb R)$ . En este sentido, uno podría formular su problema sólo en el espacio de Hilbert (éste es el dominio de aplicación del famoso teorema de Kato-Rellich (*) ), en la que se define el hamiltoniano completo y es bajo ciertas condiciones autoadjunto al igual que el no perturbado. En este caso, ambos hamiltonianos tienen sus dominios de autoadhesión dentro del mismo espacio de Hilbert.

Sin embargo, ya que se introducen los vectores propios, entonces es automáticamente natural trabajar con espacios de Hilbert amañados, caso en el que tanto $H_0$ y $H_0 + H_1$ tienen el mismo espacio de distribuciones en los que sus vectores propios generalizados existen y están bien definidos.

Ejemplo el Hamiltoniano de la partícula libre en 3D $\frac{\bf{p}^2}{2m}$ tiene el conjunto de vectores propios en el mismo $\left(C_0^{\infty}\left(\mathbb R^3\right)\right)'$ espacio como el Hamiltoniano del átomo H de Schroedinger (partícula virtual) $\frac{\bf{p}^2}{2m} + \frac{1}{r}$ . Puedes comprobar por ti mismo que hay una forma particular en la que estos dos conjuntos de distribuciones están relacionados entre sí.

(*) http://people.math.gatech.edu/~loss/14SPRINGTEA/katorellich.pdf [Espero que este enlace no se pudra en los próximos años]