Razón de ser de la prueba Dickey Fuller aumentada sobre la diferencia de retardo

Question

En el Página wiki de la prueba ADF se aplica su procedimiento de comprobación al modelo $$\Delta y_t = \alpha+\beta t+\gamma y_{t-1} + \delta_1 \Delta y_{t-1} + \dots + \delta_{p-1} \Delta y_{t-p+1} + \epsilon_t$$ donde $\alpha$ es una constante, $\beta$ es el coeficiente de una tendencia temporal y $p$ el orden de retardo del proceso AR.

Pregunta: Parece que la ecuación anterior se puede derivar de la ecuación de AR. Si este es el caso, ¿por qué transformamos de la ecuación original del proceso AR a la ecuación anterior?

Answer 1

Hola: La ecuación podría escribirse con $y_t$ en el LHS, pero eso sería complicado porque la nulidad de la prueba ADF es que hay una raíz unitaria. ( es decir $\gamma = 0 $ resultados en $y_t = y_{t-1}$ si se divide la diferencia en el lado izquierdo en sus componentes ). Así, al considerar la diferencia como el LHS, el nulo corresponde a $\gamma = 0$ que es la convención habitual (piense en un modelo de regresión complicado) para probar una hipótesis nula.

Entonces, debido a que, el LHS es la diferencia, entonces usted necesita las diferencias retardadas para capturar cualquier correlación serial en la regresión. Así que, por eso el resto de los términos en el RHS (excepto el que tiene $\gamma$ como el coeficiente ) son diferencias retardadas. Estas diferencias retardadas no intervienen realmente en la prueba de hipótesis. Sólo están ahí para capturar la correlación serial en la respuesta ( es decir, el LHS ).

Answer 2

No importa si se formula la regresión Dickey-Fuller con $y_t$ o $\Delta y_t$ en el lado izquierdo. La página web $t$ -Estadística es exactamente lo mismo. Es una cuestión de preferencia. (La segunda formulación parece más común).

Primera regresión

La regresión Dickey-Fuller $$ y_t = \gamma y_{t-1} + \epsilon_t, $$ no es robusto con respecto a la correlación serial en el término de error $\{ \epsilon_t \}$ .

El aumento de la regresión con términos retardados se debe a un intento de controlar dicha correlación serial, concretamente en el caso de que el término de error siga un proceso ARMA.

Supongamos que $\epsilon_t$ sigue una especificación ARMA(1,1): $$ y_t = \gamma y_{t-1} + \epsilon_t, $$ donde $$ (1 - \phi L) \epsilon_t = (1 - \theta L) \nu_t. $$ $L$ es el operador de retardo y $\{ \nu_t\}$ es ruido blanco.

La representación MA invertida de $\epsilon_t$ $$ \nu_t = (1 - \theta L)^{-1} (1 - \phi L) \epsilon_t = \sum_{h = 0} \psi_h \epsilon_{t-h} $$ implica $$ \epsilon_t = \psi_1 \epsilon_{t-1} + \psi_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \nu_t. $$ Sustituyendo de nuevo en el modelo, $$ y_t = \gamma y_{t-1} + \psi_1 \epsilon_{t-1} + \psi_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \nu_t. $$ Bajo la raíz unitaria nula $H_0: \gamma = 1$ , $\epsilon_t = \Delta y_t$ . Así, el modelo de regresión se convierte (con tendencia lineal) en $$ y_t = \alpha + \beta t + \gamma_1 y_{t-1} + \psi_1 \Delta y_{t-1} + \psi_2 \Delta y_{t-2} + \cdots + \nu_t. $$ El estadístico Dickey-Fuller es el $t$ estadística para las pruebas $H_0: \gamma_1 = 1$ .

Segunda regresión

Restando $y_{t-1}$ de ambos lados, $$ \Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma_2 y_{t-1} + \psi_1 \Delta y_{t-1} + \psi_2 \Delta y_{t-2} + \cdots + \nu_t. $$ El estadístico Dickey-Fuller es el $t$ estadística para las pruebas $H_0: \gamma_2 = 0$ .

El álgebra de regresión simple te dice que $\hat{\gamma}_2 = \hat{\gamma}_1 -1$ . Además, los errores estándar son los mismos: estas dos regresiones tienen los mismos residuos y regresores. Esto implica que los errores estándar de $\hat{\gamma}_2$ y $\hat{\gamma}_1$ son los mismos. Así que el $t$ -Estadística es la misma.