Unicidad de funciones sinusoidales para ecuaciones diferenciales de primer orden con desplazamiento constante

Question

Me pregunto por las soluciones de la siguiente ecuación diferencial: $f(x)=C_1 \cdot f'(x+C_2) \; \forall x \in \mathbb{R} \; \exists \; C_1, C_2 \in \mathbb{R}$ . Con $C_1, C_2$ siendo constante. ¿Las soluciones son únicamente de la familia de las funciones sin/cos? Me fastidia que no haya sido capaz de dar un contraejemplo salvo la solución trivial $f(x)=0$ .

Answer 1

Para c2=0 se tiene la solución $$f(x)=A*e^{1/c_1}$$ con c2!=0 se tiene $$f(x)=A*e^{1/c_1} -c2/c1$$ no hay pecado o cos se obtiene sin o cos para las ecuaciones de segundo orden trula

Answer 2

Con la ayuda de la transformada de Laplace y asumiendo algunas simplificaciones como por ejemplo

$$ f(x) = c_1\phi(x+c_2)f'(x+c_2) $$

con $\phi(x)$ la función escalonada de Heaviside, se puede elaborar una aproximación. Tras la transformación de Laplace tenemos

$$ F(s) = c_1\left(s e^{c_2 s}F(s)-f(c_2)\right) $$

o

$$ F(s) = -\frac{c_1f(c_2)}{1-c_1 s e^{c_2 s}} $$

introduciendo ahora la aproximación de Padé de primer orden para $|c_2| < 1$

$$ e^{c_2 s} \approx \frac{1+\frac{c_2 s}{2}}{1-\frac{c_2 s}{2}} $$

que tenemos para los pequeños $c_2$

$$ f(t)=\frac{f\left(c_2\right) e^{-\left(\frac{1}{2 c_1}+\frac{1}{c_2}\right)t} \left(\left(6 c_1+c_2\right) \sinh \left(\frac{\sqrt{4 c_1^2+12 c_2 c_1+c_2^2} t}{2 c_1 c_2}\right)-\sqrt{4 c_1^2+12 c_2 c_1+c_2^2} \cosh \left(\frac{\sqrt{4 c_1^2+12 c_2 c_1+c_2^2} t}{2 c_1 c_2}\right)\right)}{\sqrt{4 c_1^2+12 c_2 c_1+c_2^2}} $$