Pregunta sobre la transitividad de la prueba de que la homotopía de caminos induce una clase de equivalencia (topología de munkres)

Question

(Si tienes el texto)pg 324 de la topología de Munkres. Si $F$ y $F'$ son homotopías de trayectoria entre $f$ y $f'$ & $f'$ y $f''$ respectivamente, Munkres define una homotopía de trayectoria

$$ G(x,t)= \left\{ \begin{array}{cc} F(x,2t)\Huge\strut & t \in [0, 1/2] \\ F'(x,2t-1)\Huge\strut & t\in[1/2,1] \end{array}\right.$$

Mi problema no es mostrar que $G$ es una homotecia, pero que $G$ preserva los puntos finales de las rutas. Supongamos que $f(0)=a$ , $f(1)=b=f'(0)$ y $f'(1)=c$ . Por lo tanto, queremos $G(0,t)= a$ y $G(1,t)=c$ . PERO cómo sabemos que esto ocurre ya que el valor de $G$ cambios con respecto a $t$ ?? Es decir, ¿cómo sabemos que ambos puntos finales no serán los mismos?

Gracias de antemano

Answer 1

Estoy bastante seguro de que tu comentario cubre todo lo que voy a decir; para el futuro, puedes responder a tu propia pregunta y luego aceptar esa respuesta, creo. Pero de todos modos:

Si $f$ y $f'$ (o $f'$ y $f''$ ) son homotópicos, entonces los dos caminos tienen el mismo punto final e inicial. Por tanto, ya sabemos que $f(0) = f'(0)$ y $f'(0) = f''(0)$ , y de forma similar $f(1) = f'(1) = f''(1)$ .

También sabemos que si $F$ y $F'$ son las respectivas homotopías de trayectoria, cada una de ellas preserva los puntos inicial y final (por definición de homotopía de trayectoria). En consecuencia, G también preserva los puntos finales por su construcción a partir de $F$ y $F'$ que parece que ya dominas.