Esta es una pregunta de seguimiento de este . Lo pregunto por separado, ya que de una forma u otra, esa es una especie de respuesta. Ahora, sabemos que si $M^{n-1} \subseteq \Bbb R^n$ entonces el elemento de volumen $dM$ satisface $$(-1)^{i-1}n_i\,dM = dx^1\wedge \cdots \wedge \widehat{dx^i}\wedge \cdots dx^n,$$ donde $(n_1,\cdots, n_n)$ es normal que $M$ . Para $M^2 \subseteq \Bbb R^4$ Tengo la expresión $$dM = \sum_{1\leq i < j \leq 4} (-1)^{i+j-1}\begin{vmatrix} n_{i'} & n_{j'} \\ \nu_{i'} & \nu_{j'}\end{vmatrix}\,dx^i\wedge dx^j,$$ donde $i'<j'$ son los índices restantes (por ejemplo, si $(i,j) = (1,2)$ entonces $(i',j') = (2,4)$ etc.). Quería una relación como la que puse arriba para las hipersuperficies y me pica decir $$(-1)^{i+j-1}\begin{vmatrix} n_{i'} & n_{j'} \\ \nu_{i'} & \nu_{j'}\end{vmatrix}\,dM = dx^i\wedge dx^j, \quad \forall\,1\leq i < j \leq 4,$$ donde $n$ y $\nu$ son normales para $M$ , siguiendo la notación de mi pregunta anterior. Pero no estoy seguro de que esto sea cierto, y tengo problemas para atacar esto. He intentado imitar la prueba del teorema de Spivak $5.6$ en la página $128$ de su Cálculo sobre Múltiples pero sé que es inútil intentar definir un producto cruzado para sólo dos vectores en $\Bbb R^4$ . ¿Ayuda?
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HINT : Expansión de Laplace generalizada por cofactores. La forma en que me gusta pensar en ello es la siguiente. Reducir al caso de una base ortonormal orientada $v_1,\dots,v_n$ para $\Bbb R^n$ (en su caso, algunos serán tangentes a $M$ y el resto normal a $M$ ). Consideremos el operador estrella de Hodge tanto en las formas como en los multivectores. Entonces se reduce a $$(dx^i\wedge dx^j)(v_1\wedge v_2) = \big({\star}(dx^i\wedge dx^j)\big)\big({\star}(v_1\wedge v_2)\big) = \big({\star}(dx^i\wedge dx^j)\big)\big(v_3\wedge\dots\wedge v_n\big).$$
