Integral indefinida: $\int \cos(2018x)\sin^{2016}(x)dx$

Question

Evaluar $\int \cos(2018x)\sin^{2016}(x)dx$

Podría resolverlo utilizando el IBP, $$I=\int \cos(2017x+x)\sin^{2016}(x)dx$$ $$=\int \cos(2017x)\sin^{2016}(x) \cos(x)dx -\int \sin^{2017}(x)\sin(2017x)$$ $$=\frac{\cos(2017x)\sin^{2017}(x)}{2017} +\int \frac{2017\sin^{2017}(x)\sin(2017x)}{2017}dx - \int \sin^{2017}(x)\sin(2017x)$$ $$=\frac{\cos(2017x)\sin^{2017}(x)}{2017}+c$$

Sin embargo, al intentar resolver esta cuestión utilizando números complejos, no he obtenido el resultado final. Esto es lo que hice:

La integral de la entrega es $\int e^{2018ix} (\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^{2016} dx$ (teniendo en cuenta lo real de esto y en los pasos posteriores)

$$=\frac{1}{2^{2016}} \int e^{2ix}(e^{2ix}-1)^{2016} dx$$ .

$e^{2ix}-1=t$ , $e^{2ix}2idx=dt$

$$=\frac{1}{2^{2016}} \int t^{2017} dt/2i$$ .

$$=\frac{t^{2017}}{2^{2017}i \cdot 2017}+c$$

Así que la respuesta es $$-Im(\frac{t^{2017}}{2^{2017} \cdot 2017})$$

Soy incapaz de evaluar $t^{2017}=(e^{2ix}-1)^{2017}$ y conseguirlo de la forma obtenida por el IBP. Hice la expansión binomial sin embargo, no fui capaz de conseguir una forma agradable.

¿Existe también una generalización de este problema? ¿Puede $\int \cos(mx) \sin^{n}(x) dx$ ¿también se evalúa así? (no utilizando la fórmula de reducción)

Answer 1

$$t^{2017}=(e^{2ix}-1)^{2017}=(e^{ix})^{2017}(e^{ix}-e^{-ix})^{2017}$$ Así que, $$t^{2017}=(e^{2017ix})(2i\sin x)^{2017}=(\cos 2017x+i\sin 2017x)(2i\sin x)^{2017}$$ Si se toma Im parte de esta expresión, se obtiene $$Im(t^{2017})=2^{2017}\cos(2017 x)(\sin x)^{2017}$$ Por lo tanto, la respuesta $$\frac{Im(t^{2017})}{2017\cdot 2^{2017}}=\frac{\cos(2017 x)(\sin x)^{2017}}{2017}$$ Coincide con su otra respuesta.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \frac{1}{n+1}\frac{d}{dx} \sin^{n+1}(x)\cos((n+1)x) = \sin^n(x)\cos((n+1)x)\cos(x)-\sin^{n+1}(x)\sin((n+1)x) $$ $$ = \sin^n(x)\left(\cos((n+1)x)\cos(x)-\sin(x)\sin((n+1)x)\right) $$ $$ = \sin^n(x)\cos((n+2)x) $$ Entonces, la antiderivada es $\frac{1}{2017}\sin^{2017}(x)\cos(2017x)+C$ . También es posible generalizarlo.