prueba - $\forall a, b \in \mathbb{Z}^+, a \neq b, \exists \text{ infinite } n \in \mathbb{Z}^. \gcd(a+n, b+n) = 1$

Question

Demostrar que $\forall a, b \in \mathbb{Z}^+. a \neq b. \exists \text{ infinite } n \in \mathbb{Z}^+, \gcd(a+n, b+n) = 1$

En esta pregunta se pedía demostrar que para cada dos números positivos distintos $a$ y $b$ existen infinitos números positivos tales que $\gcd(a +n, b+n) = 1$ .

Intenté probarlo. Esta es mi prueba.

Prueba:

Lemma 1: Existen infinitos primos relativos a un número que no es 0. Sea el número $m$ y $m \neq 0$ . Sea $n$ se extienden sobre todos los números enteros y $r$ sea tal que $0 < r < m$ . Así que el conjunto $S = \{mn + r\}$ consiste en todos esos números.

Dejemos que $a$ y $b$ sean los dos números. Como son diferentes, supongamos que a es el menor. Entonces, $b = a + k$ y $k> 0$ .

Sabemos que para cada número, excepto el 0, existen infinitos números relativamente primos pero ninguno de $a, b, k$ son 0 aquí por el lema 1.

Dejemos que $s$ sea cualquiera de esos números y $s = a + n$ .

Así que,

$$\gcd(a + n, k) = 1 \Longleftrightarrow \gcd(a+n, a+n +k) = 1 \Longleftrightarrow \gcd(a+n , b+n ) = 1$$

Por lo tanto, la proposición queda demostrada.

¿Es correcta mi prueba? ¿Podría sugerir alguna forma mejor de demostrarlo?

Answer 1

Tu prueba parece funcionar, pero aquí hay (en mi opinión) una más sencilla:

Dejemos que $p > \max(a,b)$ sea cualquier número primo estrictamente mayor que ambos $a$ y $b$ y, a continuación, establecer $$n = p- \max(a,b).$$

Supongamos que, $a > b$ entonces $n = p-a$ y $$\gcd(a+n, b+n) = \gcd(p, b+n) = 1$$ porque $b+n < a+n = p$ y $p$ es un número primo.

Por supuesto, hay infinitos números primos mayores que $\max(a,b)$ .

Espero que esto ayude $\ddot\smile$