Demostrar que $\forall a, b \in \mathbb{Z}^+. a \neq b. \exists \text{ infinite } n \in \mathbb{Z}^+, \gcd(a+n, b+n) = 1$
En esta pregunta se pedía demostrar que para cada dos números positivos distintos $a$ y $b$ existen infinitos números positivos tales que $\gcd(a +n, b+n) = 1$ .
Intenté probarlo. Esta es mi prueba.
Prueba:
Lemma 1: Existen infinitos primos relativos a un número que no es 0. Sea el número $m$ y $m \neq 0$ . Sea $n$ se extienden sobre todos los números enteros y $r$ sea tal que $0 < r < m$ . Así que el conjunto $S = \{mn + r\}$ consiste en todos esos números.
Dejemos que $a$ y $b$ sean los dos números. Como son diferentes, supongamos que a es el menor. Entonces, $b = a + k$ y $k> 0$ .
Sabemos que para cada número, excepto el 0, existen infinitos números relativamente primos pero ninguno de $a, b, k$ son 0 aquí por el lema 1.
Dejemos que $s$ sea cualquiera de esos números y $s = a + n$ .
Así que,
$$\gcd(a + n, k) = 1 \Longleftrightarrow \gcd(a+n, a+n +k) = 1 \Longleftrightarrow \gcd(a+n , b+n ) = 1$$
Por lo tanto, la proposición queda demostrada.
¿Es correcta mi prueba? ¿Podría sugerir alguna forma mejor de demostrarlo?
