¿Probabilidad de un punto aleatorio en un disco?

Question

Elijamos un punto al azar en el disco de radio $1$ . Encuentre la probabilidad de que se encuentre en el sector angular de 0 a $\pi$ / $4$ radianes.

Acabo de empezar a enseñarme probabilidades y he llegado a esta pregunta. Encontré esto en un texto de Introducción a la Probabilidad y me preguntaba cómo podríamos resolver este tipo de problema.

Si tuviera que adivinar, mi respuesta sería $1/8$ o $\pi$ / $8$ .

Aquí está el trabajo:

$\pi$ /4 $*$ $1/2$ ya que el disco tiene un radio de $1$ .

¿Es esto correcto? Si es así, ¿podría indicar si hay otra forma de resolver este problema?

Answer 1

La respuesta es, efectivamente $1/8$ y aquí hay una justificación:

Estamos eligiendo un punto del disco al azar, lo que significa aquí que cada punto del disco tiene la misma probabilidad de ser elegido. De ello se deduce que la probabilidad de elegir una región determinada es proporcional a su área.

El sector de $0$ a $\pi/4$ ocupa $\frac18$ del área del círculo. Dado que cualquier $\frac18$ del círculo tiene la misma probabilidad de ser elegido, la probabilidad de que nuestro sector sea seleccionado es $1/8$ ya que estamos eligiendo $1$ octava parte del disco fuera de $8$ posibilidades igualmente probables.

Answer 2

La probabilidad deseada es la relación entre el área de este sector angular y el área de todo el disco. Como el área es proporcional al tamaño del ángulo central, se deduce que la probabilidad deseada es: $$ \dfrac{\pi/4}{2\pi} = \dfrac{1/4}{2} = \dfrac{1}{8} $$

Answer 3

Por simetría, no hay nada que elegir entre los ocho octantes, por lo que la probabilidad es igual para cada uno de ellos: un octavo.

Answer 4

Tu respuesta está bien y es independiente del radio: $$ \int_{0}^{a}{2r \over a^{2}}\,{\rm d}r \int_{o}^{\pi/4}\,{{\rm d}\theta \over 2\pi} = {1 \over 8} $$

Answer 5

Hay una posibilidad de 1 de ponerlo en cualquier parte del disco. (es una suposición que hago pero supongo que es buena) el área del disco es de 1 el área que cuenta como victoria es de 2 euros

el área de ?2 / ? 1 es su probabilidad.

Las probabilidades son siempre relativas y están siempre entre 0 y 1 (incluyendo ambas) por lo que si obtienes una respuesta mayor que uno, o puedes cambiar la pregunta para que la respuesta sea mayor que 1 algo está mal