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Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

La pregunta es:

Un tanque con una capacidad de 4000 L está lleno de una mezcla de agua y cloro con una concentración de 0,005 g de cloro por litro. Para reducir la concentración de cloro, se bombea agua fresca al depósito a un ritmo de 40 L/s. La mezcla se mantiene agitada y se bombea a una velocidad de 100 L/s. Encuentra la cantidad de cloro en el tanque en función del tiempo. (Sea y la cantidad de cloro en gramos y t el tiempo en segundos).

principalmente necesito ayuda sobre cómo enfocar esta pregunta... nunca he visto una pregunta de texto en la que tenga que entender la ecuación a partir de ella. he buscado en google preguntas similares pero sólo tenía la solución final sin explicaciones... agradeceria mucho la ayuda de como obtener las ecuaciones del texto y como saber por donde empezar...

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Oli Puntos 89

La cantidad de líquido en el depósito en el momento $t$ es $4000-60t$ . (Estamos utilizando $t=0$ para el momento en que se inicia el proceso). Esto se debe a que el líquido entra en $40$ litros por segundo y saliendo a $100$ litros por segundo.

Si $y$ es la cantidad de cloro en el tanque en el momento $t$ entonces el concentración de cloro en el momento $t$ es $\frac{y}{4000-60t}$ gramos por litro.

Dado que el líquido sale del tanque a $100$ litros por segundo, la velocidad de salida del cloro en el momento $t$ es $\frac{100y}{4000-60t}$ (gramos por segundo).

Obtenemos así la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dt}=-\frac{100y}{4000-60t}.$$ Se trata de una ED separable. Utilice las técnicas estándar para encontrar la solución. La condición inicial es $y(0)=(4000)(0.005)$ .

Añadido: el cálculo

La ED puede reescribirse como $$\frac{dy}{y}=-\frac{5\,dt}{200-3t}.$$ Integrar. Obtenemos $$\ln|y|=\frac{5}{3}\ln(|200-3t|)+C.$$ Exponencialmente. Obtenemos $$y=K(200-3t)^{5/3}.$$ Utilizando la condición inicial $y(0)=20$ obtenemos $$y=20(200)^{-5/3}(200-3t)^{5/3}.$$ Esto parece mucho más atractivo ya que $$y=20\left(1-\frac{3t}{200} \right)^{5/3}.$$

Observación: La ecuación diferencial tiene un rango de validez limitado, ya que muy pronto el depósito estará vacío.

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