Ejemplo de función continua absoluta que no está en $H^1$ ?

Question

Considere las funciones en $D=[C_1,C_2]$ con verdaderos $C_1<C_2$ . ¿Podría alguien darme un ejemplo de función que sea absolutamente continua en D pero que no esté en $H^1$ ? Muchas gracias.

Answer 1

Wlog $[C_1,C_2] = [0,1]$ .

Dejemos que $u(x) = \int f(x) \, dx$ donde $f \in L^1 \setminus L^2$ . Por ejemplo, $f(x) = \tfrac12 x^{-1/2}$ le da $u(x) = \sqrt x$ .