Hay La teoría de Nordstrom que puede darse como $$ C_{\mu \nu \alpha \beta} = 0. $$ La solución de las ecuaciones de Einstein para este caso es una métrica conformemente plana: $$ g^{\mu \nu} = e^{\epsilon \varphi (x)}\eta^{\mu \nu}. $$ ¿Cómo demostrar que esta teoría no predice la desviación de la luz?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En el sistema solar, sólo hay un débil campo gravitatorio fuera del sol. Así que, a efectos prácticos, se puede expandir la métrica al primer orden en $\epsilon$ (y supongo que por eso tienen este parámetro en la definición),
$$g_{\mu\nu} = e^{-\Phi }\eta_{\mu\nu} = e^{-\epsilon\phi} \eta_{\mu\nu} \approx -(1-\epsilon\phi) dt^2 + (1-\epsilon\phi ) (dx^2 +dy^2 + dz^2 ) $$ Nótese que la parte espacial de la métrica de perturbación tiene el lado opuesto a la teoría de Einstein linealizada. Precisamente por eso no hay flexión de la luz. Es un buen ejercicio para hacer, ya que la derivación es completamente paralela a la teoría linealizada habitual, véase por ejemplo, MTW, ejercicio 18.6.
Sin embargo, el resultado es cierto incluso más allá del orden lineal. Usted sabe que la ecuación del movimiento del fotón es la ecuación geodésica, $$ \nabla_p p = 0 $$
donde el impulso $p$ es el vector tangente de la curva geodésica y para el fotón es un vector nulo. En componentes, $$ \frac{d}{d\tau} p^{\mu} - p^{\mu} p^\nu \partial_{\nu} \Phi = 0 $$ donde he utilizado la forma explícita de conexión y $p^{\mu}p_{\mu} =0$ (por favor, verifíquelo).
Esta ecuación se puede integrar, $$ \frac{d}{d\tau} p^{\mu} - p^\mu \frac{d}{d\tau} \Phi = e^{\Phi} \frac{d}{d\tau}(e^{-\Phi} p^\mu) = 0 $$ así que $e^{-\Phi}p^\mu$ es una constante sola la geodésica.
Siguiendo el procedimiento estándar, comparamos el 4-momento en la emisión y en la recepción; en ambos casos el fotón está muy lejos de la estrella en el centro, y por tanto $\Phi \sim 0 $ . Por lo tanto, podemos concluir que el 4 momento no cambia en el espacio plano asintótico, es decir, no hay flexión de la luz.
Puedes leer el ejercicio 7.1 de MTW. Es un problema que parte de una acción de un campo gravitatorio escalar (teoría de Nordstorm), y también hay algunas pistas y comentarios útiles en el texto.
Añadido : Las cantidades conservadas se deben a las cuatro vectores conformes Killing : $\partial_{\mu} $ . $$\mathcal{L}_{\partial_\mu} g = -\partial_{\mu}\Phi g $$ Dejemos que $\xi= \partial_\mu$ entonces $g(p,\xi)= p^\nu \xi_\nu$ es una cantidad conservada. Esto se debe a que $$\nabla_p g(p,\xi) =(\nabla_p g)( p, \xi ) +g( \nabla_p p, \xi) + g(p, \nabla_p \xi ) = g(p, \nabla_p \xi )\\= g(p, [p,\xi] ) + g(p, \nabla_{\xi} p ) = - g( p, \mathcal{L}_{\xi} p ) + \frac{1}{2} \nabla_{\xi}g(p,p ) \\= -\frac{1}{2} \mathcal{L}_{\xi} g(p,p) + \frac{1}{2} (\mathcal{L}_{\xi} g)( p, p ) = -\partial_\mu \Phi g( p, p ) = 0 $$
Una rápida comprobación muestra que $p^\mu \xi_\mu = p^\mu e^{-\Phi } $ son justo lo que hemos derivado.
