Convergencia de $(X_nY_n)$ a cero donde $X_n, Y_n$ no son necesariamente independientes

Question

Dejemos que $X_n, Y_n$ sean variables aleatorias s.t. $\sup_n \mathbb{V}(X_n)<\infty$ y $\lim_n \mathbb{V}(Y_n)=0$ así como $\mathbb{E}(X_n)=\mathbb{E}(Y_n)=0$ para todos $n$ . Demostrar que $(X_nY_n)_n$ converge en probabilidad a $0$ .

Quería utilizar la desigualdad de Chebyshev, pero ese enfoque requeriría que las variables aleatorias fueran independientes para poder "fusionar" los valores esperados. Como las variables aleatorias no son independientes, no sé cómo abordar esto.

Answer 1

Por Cauchy Schwarz y el hecho de que todas las variables tienen media 0,

$$ \mathbb{E} |X_nY_n|\leq \sqrt{\mathbb{V} X_n}\sqrt{\mathbb{V}Y_n}\to 0, $$ así que $X_nY_n$ va a $0$ en $L^1$ . En particular, se dirige a $0$ en la probabilidad.

Answer 2

$P(|X_nY_n| >\epsilon) \leq \frac {E|X_nY_n|} {\epsilon}$ . Ahora usa la desigualdad de Holder: $E|X_nY_n| \leq \sqrt {EX_n^{2}} \sqrt {EY_n^{2}}$ .