Demostrando que hay algún punto interor al disco unitario, donde V=(0,0) usando mapas de cobertura

Question

Dejemos que $B$ sea el disco unitario cerrado en $\mathbb{R}^2$ y supongamos que $V = (p(x, y), q(x, y))$ es un campo vectorial (p,q son funciones continuas) definido en B. La frontera de $B$ es el círculo unitario $S^1$ . Demuestre que si en cada punto de $S^ 1$ , $V$ es tangente a $S^1$ y no es igual a $(0,0)$ entonces hay algún punto en el interior de B donde $V = (0,0)$ .

Intenté demostrarlo por medio de una contradicción. Supongamos que la hipótesis no es cierta. Entonces en cada $(x,y) \in B$ podemos dividir $V$ por su longitud. Tomando en cada punto un vector perpendicular a este vector unitario, podemos definir un mapa continuo de $B$ a $S^1$ . Este es un mapa de cobertura. No estoy muy seguro de a dónde ir desde aquí...

Answer 1

El mapa $V/|V|$ más vale que no sea un mapa de cobertura porque el disco es bidimensional y el círculo es unidimensional.

Aquí tienes una guía para la solución utilizando un poco de teoría de la homotopía. Primero, observa que el mapa $V/|V|$ restringido al círculo límite de $B$ es un auto-mapa de grado uno del círculo. Ahora responde a esta pregunta: Si un mapa $f:S^1\to S^1$ se extiende a todo un mapa $B\to S^1$ ¿Qué implica eso sobre el grado de $f$ ? Termina el argumento demostrando que si $V$ fueran en todas partes distintas de cero, se llegaría a una contradicción.