¿Cómo se utiliza aquí el Teorema de Fubini?

Question

Supongo que el Teorema de Fubini se utiliza en $$\int_{- \infty}^{x} \int_y ^xg'(z)e^{-y^2/2}dzdy-\int _x ^{\infty}\int_x ^yg'(z)e^{-y^2/2}dzdy \\ =\int_{-\infty}^x g'(z) \int_{-\infty}^ze^{-y^2/2}dydz - \int_x ^\infty g'(z) \int_z ^\infty e^{-y^2/2}dyz$$

ya que el orden de $dy, dz$ se intercambian, pero ¿por qué no cambian de orden las integrales (las S alargadas) y por qué cambian los límites de integración?

También he intentado evaluar el RHS pero obtengo $\int_{-\infty}^x g'(z)(erf(\frac{z}{\sqrt 2}+1)dz-\int_x ^\infty g'(z) (1-erf(\frac{z}{\sqrt 2})dz= \int_{-\infty }^\infty g'(z) e^{-y^2/2}dz+ \int_{-\infty}^x g'(z)dz - \int _x ^\infty g'(z)dz$ mientras que el lado izquierdo del original es $\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2}(g(x)-g(y))dy$ .

Answer 1

Considere una función $f(y,z)$ en dos variables $z$ y $y$ . Entonces $$\int_{-\infty}^x\left(\int_y^xf(y,z)dz\right)dy=\int_{-\infty}^x\left(\int_{-\infty}^x[z\geq y]f(y,z)dz\right)dy$$ donde $[z\geq y]=1$ si $z\geq y$ y $0$ en caso contrario (es decir $[z\geq y]$ es el valor booleano de la afirmación " $z\geq y$ ". De todos modos, es simplemente otra función sobre variables $z,y$ ).

Ahora tenemos una integral sobre dos intervalos $(-\infty,x]$ y $(-\infty,x]$ . Por Fubini, $$\int_{-\infty}^x\int_y^xf(z,y)dzdy=\int_{-\infty}^x\left(\int_{-\infty}^x[z\geq y]f(y,z)dy\right)dz=\int_{-\infty}^x\left(\int_{-\infty}^zf(y,z)dy\right)dz$$ Utiliza esto con $f(y,z)=g'(z)e^{-y^2/2}$ para la primera integral. La segunda integral es similar.