Una interesante serie $\sum_{n=2}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+3)^n-1}$

Question

Aquí es una serie interesante que inesperadamente (por lo menos a mí) se evalúa como un valor agradable, es decir

$$\sum_{n=2}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+3)^n-1}=1-\log(2)$$

Como se puede ver, no es una de las series que nos reunimos aquí todos los días, y supongo que las formas de enfoque
podría ser una buena lección para aprender. Cualquier sugerencia, idea para un buen punto de partida es agradable.

Aquí está una pregunta complementaria: encontrar la forma cerrada de

$$\sum_{n=2}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k+4)^n-1}$$

Answer 1

$$\frac{1}{(2k+3)^n-1}=\frac{1}{(2k+3)^n}+\frac{1}{(2k+3)^{2n}}+\frac{1}{(2k+3)^{3n}}+\ldots$ $ y Resumen $n$: %#% $ de #% y Resumen $$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(2k+3)^n-1}=\frac{\frac{1}{(2k+3)^2}}{1-\frac{1}{2k+3}}+\frac{\frac{1}{(2k+3)^4}}{1-\frac{1}{(2k+3)^2}}+\frac{\frac{1}{(2k+3)^6}}{1-\frac{1}{(2k+3)^3}}+\ldots$: %#% $ #% para la primera suma es mayor que $k$.