¿Cuál de las siguientes es una fórmula de primer orden válida?

Question

Aquí $p(x)$ y $q(x)$ son fórmulas de primer orden con $x$ como su variable libre

1. $\Big( \forall x[p(x) \Rightarrow q(x)] \Big) \Rightarrow \Big(\forall x[p(x)] \Rightarrow \forall x[q(x)] \Big)$
2. $ \Big(\forall x [p(x)] \Rightarrow \forall x[q(x)] \Big) \Rightarrow \Big(\forall x[p(x) \Rightarrow q(x)]\Big)$

Mi razonamiento (no tan sólido) es el siguiente

1. Se da que siempre que $p(x)$ es verdadera para cualquier valor de $x$ en el universo $q(x)$ también es cierto $\Big( \forall x[p(x) \Rightarrow q(x)] \Big)$ Por lo tanto, si $p(x)$ es cierto para todo el universo, $q(x)$ también será cierto para todo el universo y $\Big(\forall x[p(x)] \Rightarrow \forall x[q(x)] \Big)$ es cierto
2. Se da que si $p(x)$ es cierto para todo el universo, $q(x)$ también será cierto para todo el universo $\Big(\forall x[p(x)] \Rightarrow \forall x[q(x)] \Big)$ . Estoy pensando que no es necesario que $q(x)$ es cierto para los casos en que $p(x)$ es cierto.

¿Es correcto mi razonamiento? Estoy confundido y creo que sólo estoy haciendo malabarismos con las palabras. ¿Podría darme un ejemplo para demostrar que la opción 2 no es válida?

Answer 1

Su razonamiento en la primera pregunta es correcto.

Para la segunda pregunta, dejemos que nuestro universo sea el conjunto de los números naturales. Sea $p(x)$ sea la afirmación $x$ es par, y que $q(x)$ sea la afirmación $x$ es un cuadrado perfecto.

Entonces $\forall x\,p(x)$ y $\forall x \,q(x)$ son ambos falsos, y por lo tanto la implicación $\forall x \,p(x)\Rightarrow \forall x \,q(x)$ es cierto.

Sin embargo, $\forall x\left(p(x)\Rightarrow q(x)\right)$ es falso.

Se pueden construir muchos ejemplos en esta línea, ninguno muy interesante.