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Traducción lógica que implica el cuantificador existencial y "tal que"

A : "Existe un número entero mayor que 5 tal que es menor que 10"

B : "Existe un número entero tal que es mayor que 5 y menor que que 10".

C : "Existe un entero menor que 10 tal que es mayor que 5."

D : "Existe un número entero tal que es menor que 10 y mayor que 5".

Sé que A puede traducirse en B (asimismo C a D ).

B y D son obviamente equivalentes, mientras que no creo que A y C son.

Por lo tanto, creo que A implica B pero no a la inversa (igualmente C implica D pero no a la inversa). Pero, ¿es esto correcto?

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Son lo mismo. "Tal que" serían los dos puntos en mi interpretación de A: $$\exists n>8 : (n<15)$$

Sin embargo, en este caso "n>8" es en sí mismo un enunciado, así que lo que realmente estamos diciendo es que existe algún n que satisface ambas condiciones: $$\exists n : (n>8) \wedge (n<15)$$

Como "y" es conmutativo, y "tal que" se simplifica a "y" en este caso, todas las afirmaciones son equivalentes.

Antes de que preguntes, el cuantificador "para todos" es diferente. Si dices lo siguiente $$\forall n>8 : n<15$$ lo que realmente estás diciendo es que cualquier $n$ mayor que 8 implica que $n$ es inferior a 15, o: $$\forall n :(n>8) \rightarrow (n<15)$$

Esta es la razón por la que las declaraciones

para todo x que sea x>0, x<10

y

para todo x tal que x<10, x>0

no son lo mismo. Sin embargo, la afirmación:

existe un x mayor que cero tal que x es menor que diez

equivale a

existe un x menor que diez tal que x es mayor que cero

Hay muchas cuestiones lingüísticas como ésta. "Tal que" y "pero" son los que más problemas me han dado.

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