Resolver $\frac1{x-2} + \frac1{x-1} > \frac1x$

Question

$$\frac1{x-2} + \frac1{x-1} > \frac1x$$

Mi intento:

Lo resolví y obtuve $\frac{-x^2+5x-5}{(x-2)(x-1)(x) }> 0$ Pero después de esto soy incapaz de proceder ya que el numerador no tiene raíces reales. Así que, por favor, guíeme cómo debo proceder.

Answer 1

En realidad, $$\frac1{x-2}+\frac1{x-1}-\frac1x=\frac{x^2-2}{x(x-1)(x-2)}.$$ Además:

• $x^2-2>0$ si y sólo si $x\in\left(-\infty,-\sqrt2\right)\cup\left(\sqrt2,\infty\right)$ ;
• $x^2-2<0$ si y sólo si $x\in\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)$ ;
• $x(x-1)(x-2)>0$ si y sólo si $x\in(0,1)\cup(2,\infty)$ ;
• $x(x-1)(x-2)<0$ si y sólo si $x\in(-\infty,0)\cup(1,2)$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

La desigualdad se convierte en $$\frac1{x-2}+\frac1{x-1}-\frac1x=\frac{x^2-2}{x(x-1)(x-2)}>0~~(1)$$ $$ F=Sign \frac{x^2-2}{x(x-1)(x-2)} = Sign [(x+\sqrt{2})x(x-1)(x-\sqrt{2})(x-2)]~~(2)$$ Para valores reales de $x$ (1) y (2) son equivalentes a $F>0$ por el método de la curva ondulada obtenemos que todos los valores reales de $x$ están dadas por: $$ (-\sqrt{2};0) \cup (1;\sqrt{2}) \cup (2; \infty)$$

Answer 3

$x \notin \{0,1,2\}$ ,

$$\frac1{x-2}+\frac1{x-1} > \frac1x$$

• Si $x>2$ , entonces cada término es positivo, entonces claramente es cierto.

Ahora, nos centramos en $x < 2$ Es decir $x-2<0$ .

$$\frac1{x-1}-\frac1x > \frac1{2-x}$$

$$\frac{2-x}{x(x-1)}>1$$

$$\frac{2-x-x(x-1)}{x(x-1)}>0$$

$$\frac{2-x^2}{x(x-1)}>0$$

• Si $2-x^2 > 0$ entonces $x(x-1)>0$ . es decir $ -\sqrt2 < x < \sqrt2$ y ( $x<0$ o $x>1$ ). Es decir, obtenemos $(-\sqrt2, 0) \cup (1, \sqrt2)$ .

• Si $2-x^2 < 0$ entonces $x(x-1) <0$ Es decir $|x| > \sqrt2$ y $0\le x \le 1$ de la que no existe tal valor.

Por lo tanto, en resumen, $(-\sqrt2, 0) \cup (1, \sqrt2)\cup (2, \infty)$ .