Comprender el significado del teorema relacionado con los subgrupos normales

Question

Encontré en un libro en línea sobre el álgebra abstracta el siguiente teorema:

El siguiente teorema es fundamental para entender los subgrupos normales.

Teorema 10.3. Dejemos que $G$ sea un grupo y $N$ sea un subgrupo de $G$ . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. El subgrupo $N$ es normal en $G$ .
2. Para todos $g \in G\text{,}$ $gNg^{-1} \subset N\text{.}$
3. Para todos $g \in G\text{,}$ $gNg^{-1} = N\text{.}$

Como ahora mismo estoy aprendiendo sobre grupos normales y grupos factoriales, me pregunto por qué el autor dice que el "teorema es fundamental para entender los subgrupos normales".

Encontré las pruebas bastante complicadas, porque primero mostramos que $gNg^{-1} \subset N$ y luego al revés, que $N \subset gNg^{-1}$ para concluir $gNg^{-1} = N$ para un subgrupo $N$ que es normal en un grupo $G$ .

De alguna manera no entiendo por qué esto es tan fundamental, ¿puede alguien explicarlo?

Answer 1

El mapa $G \to G$ , $h \to ghg^{-1}$ es importante en la teoría de grupos, y se conoce como conjugación por $g$ . La importancia del teorema radica en mostrar que los subgrupos normales son exactamente los subgrupos de $G$ que son invariantes bajo la conjugación por cualquier elemento $g \in G$ .