Una pregunta sobre los puntos fijos y el mapa no expansivo

Question

Dejemos que $$K=\{x=(x(n))_n\in l_2(\mathbb{N}):\|x\|_2\le 1\ \text{ and } x(n)\ge 0 \text{ for all } n\in \mathbb{N} \}$$ y definir $T:K\to c_0$ por $T(x)=(1-\|x\|_2,x(1),x(2),\ldots)$ . Prueba :

(1) $T$ es un mapa propio en $K$ y $\|Tx-Ty\|_2\le \sqrt{2} \|x-y\|_2$

(2) $T $ no tiene puntos fijos en $K$

mi intento

para (2):

Supongamos que $T$ tienen punto fijo, es decir $Tx=x$

entonces $(1-\|x\|_2, x(1),x(2),\ldots)=(x(1),x(2),\ldots)$

entonces $x(1)=1-\|x\|_2, x(2)=x(1), x(3)=x(2),\ldots$

$$\therefore \|x\|_2 =\left(\sum ^n_{n=\infty} |x(n)|^2\right)^\frac{1}{2} = \left(\sum ^n_{n=\infty} (1-\|x\|_2)^2\right)^\frac{1}{2}$$

pero cómo probar esto $x$ no está en $K$ ?

cómo demostrar (1)

Answer 1

Vas por buen camino.

Como has dicho $||x||_2 =(\sum ^\infty_{n=1} |1-||x|||_2|^2)^\frac{1}{2}$

Sólo hay una forma posible de que esta suma converja: si y sólo si $||x||_2=1$ . Pero en este caso, también obtenemos $||x||_2=0$ - una contradicción.

Sobre (1) - intentemos evaluar la norma requerida:

$||Tx-Ty||_2=||(1-||x||_2,x(1),x(2),...)-(1-||y||_2,y(1),y(2),...)||_2\\=||(||y||_2-||x||_2,x(1)-y(1),x(2)-y(2),...)||_2\\=(|||y||_2-||x||_2|^2+\sum ^\infty_{n=2} |x(n)-y(n)|^2)^\frac{1}{2}\\=(|||y||_2-||x||_2|^2-|x(1)-y(1)|^2+\sum ^\infty_{n=1} |x(n)-y(n)|^2)^\frac{1}{2}\\\leq(||x-y||_2^2-|x(1)-y(1)|^2+||x-y||_2^2)^\frac{1}{2}\\=(2||x-y||_2^2-|x(1)-y(1)|^2)^\frac{1}{2}\\ \leq \sqrt2||x-y||_2$

(Cada $\leq$ el signo se debe a la desigualdad del triángulo)

Answer 2

Para $(2)$ tienes que si $Tx = x$ entonces $$x = (1-\|x\|_2, 1-\|x\|_2, \ldots)$$

así que $$+\infty > \|x\|_2^2 = \sum_{n=1}^\infty (1-\|x\|_2)^2$$ La única manera de que esta serie converja es si $1-\|x\|_2 = 0$ o $\|x\|_2 = 1$ Así que $x = (1,1,1\ldots )$ . Pero entonces claramente $\|x\|_2 = +\infty$ y no $1$ así que esto es una contradicción.

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Para demostrar que $T$ es en realidad un mapa $K \to K$ , toma $x \in K$ y afirmamos que $Tx \in K$ también.

Desde $\|x\|_2 \le 1$ tenemos $1-\|x\|_2 \ge 0$ así que

\begin{align} \|Tx\|_2^2 &= (1-\|x\|_2)^2 + \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 \\ &= (1-\|x\|_2)^2 + \|x\|_2^2 \\ &\le (1-\|x\|_2)^2 + 2(1-\|x\|_2)\|x\|_2 + \|x\|_2^2 \\ &= (1-\|x\|_2+\|x\|_2)^2 \\ &= 1 \end{align}

lo que significa $\|Tx\|_2 \le 1$ .

También es evidente que todas las coordenadas de $$Tx = (1-\|x\|_2, x_1, x_2, \ldots)$$ son no negativos ya que $x_n \ge 0, \forall n \in \mathbb{N}$ y $1-\|x\|_2 \ge 0$ .

Por lo tanto, $Tx \in K$ .

Answer 3

Me parece que uno puede no necesitar la suposición $x(n)\geq 0$ . De hecho, si $Tx=x$ , entonces $\|Tx\|^2=\|x\|^2$ que dice $(1-\|x\|)^2+x(1)^2+x(2)^2...=x(1)^2+x(2)^2+...$ , por lo que vemos $\|x\|=1$ . Entonces $x(1)=0$ . Sea $n$ sea el primer entero con $x(n)\neq 0$ , existe tal $n$ desde $\|x\|=1$ . Así que $x(n-1)=0$ pero el $n$ -a componente en $Tx$ es $x(n-1)=0$ , se contradice $Tx=x$ y $x(n)\neq 0$ .

Parte 1: $\|Tx-Ty\|^2=[(1-\|x\|)-(1-\|y\|)]^2+[x(1)-y(1)]^2+...=(\|x\|-\|y\|)^2+\|x-y\|^2\leq \|x-y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x-y\|^2$ .