$P(A|B,C) = P(A|B) * P(A|C) *$ ...?

Question

En su libro " Robótica probabilística ", Thrun tiene la siguiente ecuación: (Contexto aquí) - $\eta$ se supone que es un "normalizador"

Tal y como yo lo veo, esto se reduce a:

$P(A|B,C) = \dfrac{P(A|B) \cdot P(A|C)}{P(A)}\cdot constant$

He intentado convertir el lado izquierdo en el derecho, pero no lo he conseguido. Necesito saber si asume que P(A|B) y P(A|C) son estocásticamente independientes, ya que en mi caso no lo son. ¿Puede alguien indicarme cómo resolver esto? He intentado utilizar la regla de la cadena y (obviamente) el teorema de Bayes.

Answer 1

Básicamente, si $P(A\mid B,C)= \eta\cdot P(B\mid A)P(C\mid A)\div P(A)$ y si $B,C$ son condicionalmente independientes dado $A$ , entonces podemos encontrar $\eta$ . $$\begin{align}P(A\mid B,C) ~& = \dfrac{P(B,C\mid A)P(A)}{P(B,C)} \\[1ex] &=\dfrac{P(B\mid A)P(C\mid A)~P(A)}{P(B,C)} \\[1ex] &=\dfrac{P(B\mid A)P(C\mid A)~P(A)^2}{P(B,C)~P(A)} \\[1ex] &= \dfrac{P(A\mid B)P(B)~P(C\mid A)P(C)}{P(B,C)~P(A)}\\[1ex] &= \dfrac{P(B)P(C)}{P(B,C)}\cdot\dfrac{P(A\mid B)P(A\mid C)}{P(A)}\\[3ex]\therefore\qquad\eta ~&= \dfrac{P(B)P(C)}{P(B,C)}\\[1ex]&=\dfrac{P(B)}{P(B\mid C)}\end{align}$$

Así que en este caso si tenemos $~p(x_t\mid \mu_t, x_{t-1}, m) = \eta\cdot\dfrac{p(x_t\mid \mu_t,x_{t-1})p(x_t\mid m)}{p(x_t)}~$ entonces es probable que sea porque $\{\mu_t,x_{t-1}\}$ y $\{m\}$ son condicionalmente independientes dado $\{x_t\}$ y que $$\eta =\dfrac{p(\mu_t,x_{t-1})~~}{p(\mu_t,x_{t-1}\mid m)}$$