Uso de la palabra "modelo"

Question

En ciencia solemos decir que algún concepto sobre el papel es un "modelo" de algún concepto de la vida real. Por ejemplo, el modelo de Bohr del átomo describe cómo se comportan los átomos del mundo real en un contexto o situación particular y utilizamos ese modelo cuando lo encontramos útil. Por tanto, el modelo de Bohr es un "modelo" del átomo.

Pero en matemáticas parece ser al revés ¿Un concepto de la vida real es un "modelo" de un concepto matemático sobre el papel? Por ejemplo, los números naturales son un modelo de los axiomas de Peano.

¿Por qué es así "al revés"? ¿Por qué no podemos decir que los axiomas de Peano son un modelo de los números naturales, o que ZFC es un modelo de algún concepto de la vida real que llamamos "conjunto", etc.?

Answer 1

Personalmente, no creo que sea un retroceso en absoluto.

La intuición que me ha funcionado es que un modelo de una teoría es un ejemplo de cómo puede funcionar esa teoría . En la vida real, un modelo de algún objeto suele ser un más sencillo cosa que satisface lo mismo básico propiedades como ese objeto. El análogo matemático es la idea de un modelo de la teoría de una estructura: cada estructura $\mathcal{A}$ tiene un conjunto de sentencias asociadas $Th(\mathcal{A})$ , su teoría y podríamos (no lo hacemos, pero podríamos) decir que un "modelo de $\mathcal{A}$ " es un modelo de $Th(\mathcal{A})$ en el sentido habitual.

Esto es no una noción trivial: para casi cualquier $\mathcal{A}$ (concretamente: cuándo exactamente $\mathcal{A}$ es infinito) hay muchas estructuras no isomorfas a $\mathcal{A}$ pero que son modelos de $Th(\mathcal{A})$ . Y, de hecho, a menudo tenemos situaciones en las que $\mathcal{A}$ es complicado pero $Th(\mathcal{A})$ tiene modelos sencillos.

Así que yo diría que el verdadero cambio conceptual es darse cuenta de que cuando hablamos de (digamos) "el modelo de Bohr del átomo", tenemos en el fondo de nuestra mente algunas "propiedades básicas" de los átomos que estamos tratando de capturar. Al hacerlas explícitas, vemos un proceso de dos pasos:

• Decidir cuáles son las propiedades básicas de los átomos que nos interesan.

• Construir cosas que satisfagan esas propiedades.

Entonces pensamos en el proceso real de construcción de modelos como ese segundo paso, siendo el primer paso algo mucho más fundamental y complicado.