Explicación de una prueba sobre la continuidad en el Cálculo de Spivak

Question

No puedo ver el " se deduce que " parte de la siguiente demostración en el libro de Cálculo de Spivak:

Dado que $f$ es continua en $b$ Hay un $\delta>0$ tal que; si $|x-b|<\delta$ entonces $|f(x)-f(b)|<\varepsilon/2$ . De ello se desprende que, si $|x-b|<\delta$ y $|y-b|<\delta$ entonces $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ .

He probado lo siguiente:

$$|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(b)+f(b)-f(y)|\geq|f(x)-f(b)|-|f(y)-f(b)|$$

Pero no pude seguir adelante. ¿Podría mostrarme por qué es cierta la afirmación anterior?

Answer 1

Sugerencia

Utiliza la desigualdad del triángulo

$$|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(b)|+|f(y)-f(b)|$$