conjunto de potencias de números naturales igual al conjunto de potencias de números enteros

Question

Necesito demostrar que los dos conjuntos dados: conjunto de potencias de números naturales y conjunto de potencias de números enteros, tienen igual cardinalidad describiendo una biyección de uno a otro (describir la biyección con fórmula). Gracias de antemano

Answer 1

Básicamente, dada cualquier biyección $f : X \to Y$ existe una biyección $g : 2^X \to 2^Y$ donde $g(A) = \{f(x)\ |\ x \in A\}$ .

Por lo tanto, dejemos que $f$ sea alguna biyección de los números naturales (supongamos que incluyen $0$ pero no importa) a los enteros, como $f(0) = 0$ , $f(1) = 1$ , $f(2) = -1$ , $f(3) = 2$ , $f(4) = -2$ etc.

Answer 2

Si dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, sus conjuntos de potencia tienen la misma cardinalidad.

Si $f: A\to B$ es $1-1$ y sobre, entonces hay un mapa obvio $f^*:\mathcal{P}(A)\to\mathcal{P}(B)$ .

Answer 3

Una vez que se tiene una biyección entre los naturales y los enteros, una biyección entre los conjuntos de potencias es aplicar la $\mathbb N \leftrightarrow \mathbb Z$ bijection ot los elementos de los conjuntos de naturales para obtener conjuntos de enteros.

Answer 4

Se puede utilizar algo similar a la función utilizada para demostrar que los naturales y los enteros tienen la misma cardinalidad, es decir

$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} \iff \text{x is even} \\ -\lfloor\frac{x}{2}\rfloor \iff \text{x is odd} \end{cases}$

ahora, para un conjunto dado $A$ de naturales, se itera $f$ a todos sus elementos y obtienen el conjunto correspondiente $B$ de números enteros

Answer 5

Existe una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ . Llamémosla f. Entonces, existe una biyección entre sus conjuntos de potencias, sustituyendo cada elemento de un conjunto por su imagen bajo f.