¿Qué es un límite?

Question

Este límite sigue apareciendo en mi libro de cálculo. ¿De qué se trata?

Answer 1

Conceptualmente, al menos para mí, un límite es una forma de aproximarse a algo, dándose cuenta de que el comportamiento a largo plazo es predecible y más importante que el comportamiento a corto plazo.

Digamos que estás cuidando a un niño revoltoso. Podrías frustrarte intentando calmarlo, o simplemente darte cuenta de que, al final, se cansará.

Muchos sistemas parecen complicados a corto plazo, pero son sencillos a largo plazo.

El límite es la forma de aprovecharlo y relacionar un sistema complejo con una aproximación más sencilla.

Answer 2

Lo que otros han proporcionado es una definición intuitiva/más general bastante buena de un límite. Si quieres algo un poco más técnico y riguroso, echa un vistazo a la (ε, δ)-definición de límite que es el que se utiliza en el análisis matemático.

Answer 3

A continuación se ofrece un tratamiento matemático riguroso:

Decimos que el límite de $f(x)$ como $x$ se acerca a $c$ es $\tau$ si para todo $\varepsilon$ en $\mathbb R^+$ existe delta en $\mathbb R^+$ tal que $|x-c|< \delta$ implica $|f(x)-\tau| < \varepsilon$ .

Answer 4

Si fueras una hormiga arrastrándose a lo largo de una curva, a una distancia realmente pequeña (casi cero) del punto del que estás tomando el límite, ¿dónde estás?

Answer 5

Para muchas funciones existen valores indefinidos. Por ejemplo, en la función $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$ no hay ningún valor de $f(x)$ para $x = 1$ ya que implica una división por 0. En este caso, sin embargo, como x se acerca cada vez más a 1, $f(x)$ se acerca cada vez más a 2, por lo que definimos que es el límite.

En cálculo los límites surgen al obtener la pendiente de una función lineal como seguro que has visto, el problema es que obtener la pendiente en un punto determinado, usando la fórmula de la pendiente que todos conocemos, implica dividir por cero, así que usamos límites para obtener la respuesta. Más concretamente creamos una fórmula para la pendiente entre el punto $(x, f(x))$ y el punto $(x+h, f(x+h))$ y hallar la pendiente como $h \to 0$ .

Límites como $x \to \infty$ también se utilizan a menudo, ya que incluso si una función está bien definida para todos los $x$ sigue siendo imposible simplemente enchufar infinito y calcularlo, de esta manera se puede utilizar para fines de aproximación. El cálculo del tiempo de ejecución de los programas informáticos con entradas grandes se suele hacer derivando una fórmula para el tiempo de ejecución dada una entrada de cierta longitud, y luego encontrando el límite como $x \to \infty$